No ilə n-kanal QS var məhdud növbə. Aşağıdakı göstəricilərlə xarakterizə olunur:
Marjinal ehtimallar:
, , . . . , , 
,…, 
,… (10)
Tətbiqin növbədə olma ehtimalı:
(11)
(13)
Orta növbə vaxtı:
(15)
Növbədə sərf olunan orta vaxt:
Çoxkanallı QS probleminin gözlənti ilə həlli nümunəsini nəzərdən keçirək.
Tapşırıq. Mağazada kassalara saatda 81 nəfər intensivliklə müştəri axını daxil olur. Bir müştəri xidmətinin kassiri tərəfindən orta xidmət müddəti = 2 dəqiqə. Dövlətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını və hesablama qovşağına xidmət xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin.
Şərtinə görə λ=81(adam/saat)= 81/60=1,35 (adam/dəq.). Düsturlara görə (1, 2):
= λ/μ= λ * xidmət = 1,35 * 2 = 2,7
<1, т.е. при n >= 2.7. Beləliklə, kassirlərin minimum sayı n =3.
n=3 üçün QS xidmət xüsusiyyətlərini tapaq.
(9) düsturuna görə kassada müştərilərin olmama ehtimalı:
= (1+2,7+2,7 /2!+2,7 /3!+2,7 /3!(3-2,7)) = 0,025
Orta hesabla kassirlərin 2,5%-i boş qalacaq.
Kassada növbə olma ehtimalı (11) düsturla müəyyən edilir:
P = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Növbədəki alıcıların orta sayı (13) düsturu ilə hesablanır:
L \u003d (2,7 / (3 * 3! (1-2,7 / 3) )) * 0,025 \u003d 7,35 (insanlar)
T \u003d 7,35 / 1,35 \u003d 5,44 (dəq.)
Gəlin (15) düsturundan istifadə edərək kassadakı müştərilərin orta sayını müəyyən edək:
L \u003d 7,35 + 2,7 \u003d 10,05 (insanlar)
Müştərilərin kassada keçirdiyi orta vaxt (16) düsturla tapılır:
T \u003d 10,05 / 1,35 \u003d 7,44 (dəq)
Müştəri xidməti ilə məşğul olan kassirlərin orta sayı (12) = 2,7 düsturuna uyğun olaraq.
Xidmətdə çalışan kassirlərin əmsalı (payı) aşağıdakı düsturla hesablanır:
Hesablama düyününün mütləq tutumu A=1,35 (adam/dəq) və ya 81 (insan/saat), yəni. Saatda 81 alıcı. Xidmət xüsusiyyətlərinin təhlili üç kassirin iştirakı ilə kassaların əhəmiyyətli dərəcədə həddindən artıq yüklənməsini göstərir.
Sistemlər növbə məhdud növbə ilə
Məhdud növbə ilə n-kanal QS var. Növbədəki sorğuların sayı m sayı ilə məhdudlaşır. Əgər növbədə artıq m iddianın olduğu anda iddia daxil olarsa, ona xidmət göstərilmir. Belə bir QS aşağıdakı göstəricilərlə xarakterizə olunur:
Marjinal ehtimallar:
(17)
, , . . . , , ,…, (18)
Uğursuzluq Ehtimali:
(19)
Nisbi məhsuldarlıq:
Mütləq bant genişliyi:
Məşğul olan kanalların orta sayı:
Növbədə olan müraciətlərin orta sayı:
(23)
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
QS optimallaşdırma nümunəsi
Növbə sisteminin performans göstəriciləri optimallaşdırma problemlərini həll etmək üçün istifadə edilə bilər.
Tapşırıq.
Bir il ərzində 270 gəmiyə xidmət göstərildiyi məlumdursa, minimum xərclərlə limanda yanalmaların optimal sayını müəyyənləşdirin. Bir gəminin boşaldılması orta hesabla 12 saat davam edir. Limanda gəminin dayanmasına görə cərimə 100 min rubl/gün, yanalma qiyməti isə 150 min rubl/gün təşkil edir. Hesablamalar cədvəldə göstərilmişdir.
Qərar.
Şərtlə
λ=270(gəmi/il)=270/360=0,75(gəmi/gün),
xidmət=12saat=12/24=0,5 gün.
Düsturlara görə (1, 2):
= λ/μ= λ * xidmət = 0,75 * 0,5 = 1,5
/n şərti altında növbə sonsuza qədər artmayacaq<1, т.е. при n >= 1.5. Beləliklə, yanalmaların minimum sayı n =2.
Yanalmaların sayı n=2 olan limanın SMO-nun xidmət xarakteristikalarını tapaq.
Limanda gəmilərin olmaması ehtimalı (9) düsturla hesablanır:
Orta hesabla vaxtın 1,4%-i körpülər boş qalacaq.
Növbədə olan gəmilərin orta sayı (13) düsturu ilə hesablanır:
Növbədə orta gözləmə müddəti (14) düsturu ilə hesablanır:
T \u003d 1,93 / 0,75 \u003d 2,57 (günlər)
(15) düsturu ilə limandakı gəmilərin orta sayını müəyyən edək:
L\u003d 1,93 + 1,5 \u003d 3,43 (gəmilər)
Gəmilərin limanda keçirdikləri orta vaxt düstur (16) ilə tapılır:
T \u003d 3,43 / 0,75 \u003d 4,57 (günlər)
İşğal olunmuş yanalmaların orta sayı (12) =1,5.
Xidmət xüsusiyyətlərinin təhlili iki körpünün mövcudluğunda limanın əhəmiyyətli dərəcədə yüklənməsini göstərir.
Limanda gəmilərin bir gündə dayanmasına görə ümumi cəzanı tapaq. Bunu etmək üçün limanda bir gəminin dayanmasına görə cəriməni və növbədə olan gəmilərin orta sayını çarpırıq:
= * L .
Gün ərzində yanalma körpülərinə xidmətin dəyərini müəyyən edək: = *n.
Gündə iki çarpayı üçün
Ümumi xərclər: С= + =193+300=493(den.un.)
Problemin vəziyyətinə görə ümumi xərclər minimal olmalıdır.
Yataqların sayı üçün ümumi xərcləri hesablayaq n = 2, 3, 4. Hesablamalar cədvəldə verilmişdir. Cədvəldən göründüyü kimi, minimum xərclər n = 3-də əldə edilir. Buna görə də xərcləri minimuma endirmək üçün 3 çarpayı lazımdır.
Cədvəl 1.- Yanalmaların optimal sayının hesablanması
| Göstərici | Yataqların sayı | ||
| Gəmi hərəkətinin intensivliyi | 0,75 | 0,75 | 0,75 |
| Gəmi xidmətinin intensivliyi | 0,5 | 0,5 | 0,5 |
| Döşəmə yükünün intensivliyi | 1,5 | 1,5 | 1,5 |
| Bütün yanalma yerlərinin pulsuz olması ehtimalı | 0,14 | 0,21 | 0,22 |
| Sıradakı gəmilərin orta sayı | 1,93 | 0,24 | 0,04 |
| Bir gəminin növbədə keçirdiyi orta vaxt, günlər | 2,57 | 0,32 | 0,06 |
| Limandakı gəmilərin orta sayı | 3,43 | 1,74 | 1,54 |
| Gəminin limanda qalma müddəti, günlər | 4,57 | 2,32 | 2,06 |
| Limanda gəminin dayanmasına görə cərimə, nağd pul vahidləri/gün () | 100,00 | 100,00 | 100,00 |
| Gündəlik yanacağın saxlanma xərcləri, pul vahidləri/gün () | 150,00 | 150,00 | 150,00 |
| Gündəlik limanda gəmilərin dayanmasına görə ümumi cərimə, pul vahidləri () | 192,86 | 23,68 | 4,48 |
| Gündəlik yanalma körpüsünə texniki xidmətin ümumi dəyəri, pul vahidi () | 300,00 | 450,00 | 600,00 |
| Ümumi xərclər, pul vahidləri (С) | 492,86 | 473,68 | 604,48 |
Tapşırıq seçimləri
Cədvəl 2 - Tapşırıq seçimləri
| Variant sayı | ||||||||||
| Tapşırıq | ||||||||||
| Variant sayı | ||||||||||
| Tapşırıq |
1. Bərbər salonunda saç düzümü mürəkkəbliyindən asılı olaraq usta işi orta hesabla 30 dəqiqə ərzində yerinə yetirir. Ziyarətçilər orta hesabla 25 dəqiqəyə gəlirlər. Usta her iş saatı üçün 300 den.un qazanır.. Növbə 4 nəfərlə məhdudlaşır. Növbədə 4 nəfərdən çox olarsa, müştəri çıxır və bir saatda itki 150 dendir. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Ustaların optimal sayını müəyyənləşdirin.
2. Avtomobillər yanacaqdoldurma məntəqələrinə 5 dəqiqədə orta hesabla 2 maşın gəlir. Bir avtomobilə yanacaq doldurmaq orta hesabla 3 dəqiqə çəkir. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Sütunların sayını elə müəyyənləşdirin ki, növbənin orta uzunluğu 3 avtomatikdən çox olmasın.
3. Nəqliyyat vasitələrinin profilaktik baxışı məntəqəsinin gecə-gündüz işləməsi nəzərdə tutulur. Hər bir maşın üçün qüsurları yoxlamaq və müəyyən etmək orta hesabla 30 dəqiqə çəkir. Hər gün orta hesabla 36 avtomobil müayinəyə qəbul edilir. Baxış məntəqəsinə gələn avtomobil bir dənə də olsun kanalı boş tapmazsa, baxış məntəqəsini xidmətsiz qoyur. Dövlətlərin ehtimallarını və profilaktik yoxlama məntəqəsinin xidmət xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin. Kanalların sayını elə müəyyənləşdirin ki, nisbi ötürmə qabiliyyəti 0,8-dən az olmasın.
4. Təcili ayaqqabı təmiri sexində təmirin mürəkkəbliyindən asılı olaraq ustaya orta hesabla 15 dəqiqə lazımdır. Ziyarətçilər orta hesabla hər 14 dəqiqədən bir gəlir. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Ustaların sayını müəyyən edin ki, növbənin orta uzunluğu 5 sifarişdən çox olmasın.
5. Məlumat masasında operator orta hesabla 4 dəqiqəyə sertifikat verir. Zənglər hər 3 dəqiqədən bir gəlir. Operatorlar məşğuldursa, zəngə xidmət göstərilmir. Dövlətlərin ehtimallarını və istinad xidmətinin xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin. Kanalların sayını elə müəyyənləşdirin ki, nisbi ötürmə qabiliyyəti 0,75-dən az olmasın.
6. Alıcıda olan məhsulların sayından asılı olaraq, mağazada kassirə bir çek üçün orta hesabla 2 dəqiqə vaxt lazımdır. Müştərilər kassaya saatda 81 nəfər intensivliklə yaxınlaşırlar. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Kassirlərin sayını elə müəyyənləşdirin ki, orta növbə uzunluğu 4 müştəridən çox olmasın.
7. Avtomobilin növündən asılı olaraq, ATP-də dispetçer bir marşrut vərəqini vermək üçün orta hesabla 20 dəqiqə çəkir. Avtomobillər üçün müraciətlər orta hesabla hər 30 dəqiqədən bir qəbul edilir. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Orta növbə uzunluğunun 2 sorğudan çox olmaması üçün dispetçerlərin sayını müəyyən edin.
8. ATS-nin işini qiymətləndirmək tələb olunur. Əgər bütün rabitə xətləri məşğuldursa, o zaman abunəçi sistemi tərk edir. Zənglər 2 zəng/dəq intensivliklə qəbul edilir.Zənglərin müddəti eksponent olaraq paylanır və orta hesabla 1,5 dəqiqədir. Sistemin marjinal ehtimallarını və performans göstəricilərini müəyyən edin. Operatorların sayını elə müəyyənləşdirin ki, birjanın nisbi ötürmə qabiliyyəti 0,9-dan az olmasın.
9. Bankda müştərinin tələbinin mürəkkəbliyindən asılı olaraq kassirə orta hesabla 10 dəqiqə vaxt lazımdır. Müştərilər orta hesabla hər 12 dəqiqədən bir ona müraciət edirlər. Kassir 15000 den qazanır. hər ay üçün. Növbə 6 nəfərlə məhdudlaşır. Növbədə 6 nəfərdən çox olarsa, müştəri çıxır və bir saatda itki 200 den.un olur. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Kassirlərin optimal sayını müəyyənləşdirin.
10. ATM-də bir əməliyyat üçün orta hesabla 2 dəqiqə vaxt lazımdır. Müştərilər orta hesabla hər 20 dəqiqədən bir ona müraciət edirlər. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Bankomatların sayını elə müəyyənləşdirin ki, növbənin orta uzunluğu 2 nəfəri keçməsin.
11. Mağazada alıcıdan asılı olaraq satıcıya hər alış üçün orta hesabla 10 dəqiqə vaxt lazımdır. Müştərilər ona orta hesabla hər 5 dəqiqədən bir müraciət edirlər. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Satıcıların sayını elə müəyyənləşdirin ki, növbənin orta uzunluğu 5 nəfəri keçməsin.
12. Mebel fabrikinin sifariş şöbəsində satış meneceri müştərinin sifarişindən asılı olaraq bir sifarişi yerinə yetirmək üçün orta hesabla 25 dəqiqə vaxt sərf edir. Müştərilər orta hesabla hər 30 dəqiqədən bir gəlir. Dövlətlərin və xidmət xüsusiyyətlərinin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını müəyyən edin. Menecerlərin sayını elə müəyyənləşdirin ki, növbənin orta uzunluğu 3 nəfəri keçməsin.
İş sifarişi
1. Excel sistemində növbə sisteminin göstəricilərini təlimatda verilmiş düsturlara əsasən hesablayın. Seçim üçün optimal dəyəri tapmaq üçün xidmət kanallarının sayı n=1, 2, 3...k çeşidlənir. Güman edilir ki, giriş axınları və xidmətləri Puasson paylanmasına uyğundur.
2. Alınan nəticələri təhlil edin.
3. Hesabatı tamamlayın.
1) işin məqsədi;
2) problemin ifadəsi;
3) Excel proqramında aparılan hesablamaların nəticələri;
4) işin yerinə yetirilməsinə dair nəticələr.
test sualları
1. Növbə sistemi anlayışına nələr daxildir?
2. Növbə sistemlərinin növləri hansılardır?
3. Növbə sistemlərinin əsas xüsusiyyətləri və fəaliyyət göstəriciləri hansılardır?
4. Daxil olan tələblər axınının əsas xassələrini (xüsusiyyətlərini) göstərin?
5. Gözləmə ilə növbə sistemlərinin əsas xüsusiyyətlərini və xüsusiyyətlərini sadalayın?
6. Uğursuzluqlarla QS-nin əsas xüsusiyyətləri hansılardır?
7. Nümunələr göstərin müxtəlif növlər CMO?
Biblioqrafik siyahı
1. Afanasyev M.Yu. İqtisadiyyatda əməliyyat tədqiqatı: modellər, vəzifələr, həllər. / M.Yu. Afanasyev, B.P. Suvorov.- M.: İNFRA, 2003.-444s.
2. Wentzel E.S. Əməliyyat tədqiqatı. Tapşırıqlar, prinsiplər, metodologiya./ E.S. Wentzel.-M.: aspirantura məktəbi, 2001.-208s.
3. Zayçenko Yu.P. Əməliyyat tədqiqatı./ Yu.P. Zaiçenko.- K .: Vişça məktəbi, 1975.-320-ci illər.
4. Konyuxovski P.V. Əməliyyatların tədqiqinin riyazi üsulları. / P.V. Konyuxovski.- Sankt-Peterburq: Peter, 2001.-192s.
5. Kremer N.Ş., Putko B.A. İqtisadiyyatda əməliyyatların tədqiqi./ N.Ş. Kremer, B.A. Butko, I.M. Trishin.- M.: Banklar və birjalar, UNITI, 1997.-407s.
1. Kudryavtsev E.M. GPSS dünyası.Müxtəlif sistemlərin simulyasiyasının əsasları.- M.: DMK Press, 2004.- 320 s.
2. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Sistemlərin Modelləşdirilməsi. - M.: Ali məktəb, 1985
3. Sovetov V.Ya., Yakovlev S.A. Sistemlərin modelləşdirilməsi: kurs dizaynı. - M.: Ali məktəb, 1989
federal agentlik Rusiya Federasiyasının təhsili ilə
FGOU SPO "Perevozski İnşaat Kolleci"
“Riyazi üsullar” fənni üzrə
mövzusunda “Məhdud gözləmə vaxtı ilə QS. Qapalı QS»
Giriş ................................................. . ................................................ .. ..... 2
1. Növbə nəzəriyyəsinin əsasları ...................................... ...... ...... 3
1.1 Təsadüfi proses anlayışı........................................... ......... ................... 3
1.2 Markovski təsadüfi proses.............................................................. 4
1.3 Hadisə axını................................................................ ................................................................ ....... 6
1.4 Dövlət ehtimalları üçün Kolmoqorovun tənlikləri. Dövlətlərin son ehtimalları................................................. ................ ................................. ................ ........ doqquz
1.5 Növbə nəzəriyyəsinin vəzifələri...................................................... ............ .. on üç
1.6 Növbə sistemlərinin təsnifatı............................................. .. 15
2. Gözləmə növbə sistemləri................................................ ......... 16
2.1 Tək kanallı gecikmə QS...................................... ........................... ............ on altı
2.2 Çoxkanallı gecikmə QS .......................................... ...................... ......... 25
3. Qapalı QS ................................................. ...... ................................................... 37
Problemin həlli.............................................. ... ................................................ 45
Nəticə................................................................. ................................................... . əlli
Biblioqrafiya................................................. . ................................................... 51
Bu kursda biz müxtəlif növbə sistemlərini (QS) və növbə şəbəkələrini (QNS) nəzərdən keçirəcəyik.
Növbə sistemi (QS) kimi başa düşülür dinamik sistem, sistem resurslarına qoyulan məhdudiyyətlər altında tətbiqlər axınına (xidmət üçün tələblər) səmərəli xidmət göstərmək üçün nəzərdə tutulmuşdur.
QS modelləri müasir hesablama sistemlərinin ayrı-ayrı alt sistemlərini təsvir etmək üçün əlverişlidir, məsələn, altsistem prosessoru - əsas yaddaş, giriş-çıxış kanalı və s. Hesablama sistemi bütövlükdə bir-biri ilə əlaqəli alt sistemlərin məcmusudur, onların qarşılıqlı əlaqəsi ehtimal olunur. Bəzi problemin həlli üçün müraciət, gəlir hesablama sistemi, sayma, xarici yaddaş qurğularına və giriş-çıxış cihazlarına daxil olmaq mərhələləri ardıcıllığından keçir. Sayı və müddəti proqramın mürəkkəbliyindən asılı olan belə mərhələlərin müəyyən ardıcıllığı tamamlandıqdan sonra sorğuya xidmət edilmiş hesab edilir və hesablama sistemini tərk edir. Beləliklə, hesablama sistemi bütövlükdə hər biri ayrı bir cihazın və ya sistemin bir hissəsi olan eyni tipli qurğular qrupunun işləmə prosesini əks etdirən QS dəsti ilə təmsil oluna bilər.
Bir-biri ilə əlaqəli QS dəsti növbə şəbəkəsi (stokastik şəbəkə) adlanır.
Başlamaq üçün biz QS nəzəriyyəsinin əsaslarını nəzərdən keçirəcəyik, sonra gözlənilən və qapalı QS ilə QS-nin ətraflı məzmunu ilə tanış olmağa davam edəcəyik. Kursa praktiki hissə də daxildir, burada nəzəriyyənin praktikada tətbiqi ilə ətraflı tanış olacağıq.
Növbə nəzəriyyəsi ehtimal nəzəriyyəsinin qollarından biridir. Bu nəzəriyyə hesab edir ehtimala əsaslanan problemlər və riyazi modellər (bundan əvvəl biz deterministik riyazi modelləri nəzərdən keçirirdik). Xatırladaq ki:
Deterministik riyazi model nöqteyi-nəzərdən obyektin (sistemin, prosesin) davranışını əks etdirir tam əminlik indi və gələcəkdə.
Ehtimallı riyazi model obyektin (sistemin, prosesin) davranışına təsadüfi amillərin təsirini nəzərə alır və buna görə də gələcəyi müəyyən hadisələrin baş vermə ehtimalı nöqteyi-nəzərindən qiymətləndirir.
Bunlar. burada, məsələn, oyun nəzəriyyəsində problemlər nəzərdən keçirilir şəraitdə qeyri-müəyyənlik .
Problemə daxil edilən qeyri-müəyyən amillər təsadüfi dəyişənlər (və ya təsadüfi funksiyalar) olduqda, ilk növbədə “stokastik qeyri-müəyyənliyi” səciyyələndirən bəzi anlayışları nəzərdən keçirək, onların ehtimal xarakteristikaları ya məlumdur, ya da təcrübədən əldə edilə bilər. Belə qeyri-müəyyənliyə "əlverişli", "yaxşı" da deyilir.
Düzünü desək, təsadüfi pozğunluqlar istənilən prosesə xasdır. Təsadüfi prosesə nümunələr vermək "təsadüfi olmayan" prosesdən daha asandır. Hətta, məsələn, saatın idarə edilməsi prosesi (ciddi, yaxşı düşünülmüş bir iş kimi görünür - "saat kimi işləyir") təsadüfi dəyişikliklərə məruz qalır (qabaqda getmək, geridə qalmaq, dayanmaq). Amma nə qədər ki, bu təlaşlar əhəmiyyətsizdir və bizi maraqlandıran parametrlərə az təsir edir, biz onları laqeyd qoyub prosesi deterministik, qeyri-təsadüfi hesab edə bilərik.
Bir sistem olsun S (texniki cihaz, belə cihazların bir qrupu, texnoloji sistem - dəzgah, sahə, emalatxana, müəssisə, sənaye və s.). Sistemdə S sızmalar təsadüfi proses, zaman keçdikcə vəziyyətini dəyişirsə (bir vəziyyətdən digərinə keçir), üstəlik, təsadüfi bilinməyən bir şəkildə.
Nümunələr:
1. Sistem S– texnoloji sistem (maşın bölməsi). Maşınlar vaxtaşırı xarab olur və təmir olunur. Bu sistemdə baş verən proses təsadüfi xarakter daşıyır.
2. Sistem S- müəyyən bir marşrut üzrə verilmiş yüksəklikdə uçan təyyarə. Narahatedici amillər - hava şəraiti, ekipaj səhvləri və s., nəticələr - "söhbət", uçuş cədvəlinin pozulması və s.
Sistemdə təsadüfi proses deyilir Markovskiəgər hər hansı bir an üçün t 0 gələcəkdə prosesin ehtimal xüsusiyyətləri yalnız onun indiki vəziyyətindən asılıdır t 0 və sistemin bu vəziyyətə nə vaxt və necə gəldiyindən asılı deyil.
İcazə verin Bu an t 0 sistem müəyyən vəziyyətdədir S 0 . Biz sistemin indiki vəziyyətinin xüsusiyyətlərini və bu dövrdə baş verən hər şeyi bilirik t <t 0 (proses tarixçəsi). Gələcəyi qabaqcadan (proqnozlaşdırmaq) edə bilərikmi, yəni. nə vaxt olacaq t >t 0? Dəqiq deyil, amma prosesin bəzi ehtimal xüsusiyyətlərini gələcəkdə tapmaq olar. Məsələn, bir müddət sonra sistemin işləmə ehtimalı S bacaracaq S 1 və ya vəziyyətdə qal S 0 və s.
Misal. Sistem S- hava döyüşlərində iştirak edən təyyarələr qrupu. Qoy olsun x- "qırmızı" təyyarələrin sayı, y- "mavi" təyyarələrin sayı. Zamanla t 0, müvafiq olaraq sağ qalan (vurulmamış) təyyarələrin sayı - x 0 , y 0 . Bizi bu dəqiqə say üstünlüyünün “qırmızılar”ın tərəfində olacağı ehtimalı maraqlandırır. Bu ehtimal sistemin o zamankı vəziyyətindən asılıdır t 0 və vurulanların nə vaxt və hansı ardıcıllıqla öldüyü ana qədər deyil t 0 təyyarə.
Təcrübədə təmiz formada Markov proseslərinə adətən rast gəlinmir. Amma elə proseslər var ki, onlar üçün “tarixdən əvvəlki” təsiri laqeyd etmək olar. Və bu cür prosesləri öyrənərkən Markov modellərindən istifadə edilə bilər (növbə nəzəriyyəsində Markov olmayan növbə sistemləri də nəzərə alınır, lakin onları təsvir edən riyazi aparat daha mürəkkəbdir).
Əməliyyat tədqiqatlarında böyük əhəmiyyət kəsb edir diskret hallara və fasiləsiz vaxta malik Markov təsadüfi prosesləri var.
Proses adlanır diskret dövlət prosesi onun mümkün dövlətləri varsa S 1 , S 2 , … qabaqcadan müəyyən edilə bilər və sistemin vəziyyətdən vəziyyətə keçidi “sıçrayış”da, demək olar ki, dərhal baş verir.
Proses adlanır davamlı zaman prosesi, haldan vəziyyətə mümkün keçid anları qabaqcadan müəyyən edilməyibsə, qeyri-müəyyən, təsadüfi və istənilən vaxt baş verə bilərsə.
Misal. Texnoloji sistem (bölmə) S iki maşından ibarətdir, hər biri təsadüfi bir anda uğursuz ola bilər (uğursuzdur), bundan sonra qurğunun təmiri dərhal başlayır, həmçinin naməlum, təsadüfi vaxt ərzində davam edir. Aşağıdakı sistem vəziyyətləri mümkündür:
S 0 - hər iki maşın işləyir;
S 1 - birinci maşın təmir olunur, ikincisi xidmətdədir;
S 2 - ikinci maşın təmir olunur, birincisi xidmətə yararlıdır;
S 3 - hər iki maşın təmir olunur.
Sistem keçidləri S vəziyyətdən vəziyyətə demək olar ki, dərhal, bu və ya digər maşının nasazlığı və ya təmirin başa çatması təsadüfi anlarında baş verir.
Diskret vəziyyətlərlə təsadüfi prosesləri təhlil edərkən həndəsi sxemdən istifadə etmək rahatdır - dövlət qrafiki. Qrafikin təpələri sistemin vəziyyətləridir. Qrafik qövslər vəziyyətdən vəziyyətə mümkün keçidlərdir. Nümunəmiz üçün vəziyyət qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. bir.
düyü. 1. Sistem hallarının qrafiki
Qeyd. Dövlət keçidi S 0 in SŞəkildə 3 göstərilməyib, çünki maşınların bir-birindən asılı olmayaraq sıradan çıxması nəzərdə tutulur. Hər iki maşının eyni vaxtda sıradan çıxma ehtimalını nəzərə almırıq.
Hadisələr axını- təsadüfi bir zamanda bir-birinin ardınca gedən homojen hadisələrin ardıcıllığı.
Əvvəlki nümunədə bu, uğursuzluq axını və bərpa axınıdır. Digər misallar: telefon stansiyasında zəng axını, mağazada müştəri axını və s.
Hadisələrin axını zaman oxundakı bir sıra nöqtələrlə vizuallaşdırıla bilər O t- düyü. 2.
düyü. 2. Hadisələrin zaman oxunda cərəyanının təsviri
Hər bir nöqtənin mövqeyi təsadüfidir və burada axının yalnız bir həyata keçirilməsi göstərilir.
Hadisələrin axınının intensivliyi ( ) zaman vahidi başına hadisələrin orta sayıdır.
Hadisə axınının bəzi xassələrini (növlərini) nəzərdən keçirək.
Hadisələrin axını deyilir stasionar, əgər onun ehtimal xüsusiyyətləri zamandan asılı deyilsə.
Xüsusilə, stasionar axının intensivliyi sabitdir. Hadisələrin axını istər-istəməz konsentrasiyalara və ya seyrəkləşmələrə malikdir, lakin onlar müntəzəm xarakter daşımır və zaman vahidinə düşən hadisələrin orta sayı sabitdir və zamandan asılı deyildir.
Hadisələrin axını deyilir nəticəsiz axır, əgər hər hansı iki kəsişməyən zaman intervalı üçün və (şək. 2-ə baxın) onlardan birinə düşən hadisələrin sayı digərinə nə qədər hadisə düşməsindən asılı deyilsə. Başqa sözlə desək, bu o deməkdir ki, axını meydana gətirən hadisələr müəyyən vaxtda meydana çıxır. bir-birindən asılı olmayaraq və hər biri öz səbəbləri ilə.
Hadisələrin axını deyilir adi siravi, əgər oradakı hadisələr bir anda bir neçə qrup halında deyil, tək-tək görünürsə.
Hadisələrin axını deyilir ən sadə (və ya stasionar Puasson), eyni anda üç xassə varsa:
1) stasionar;
2) adi;
3) heç bir nəticəsi yoxdur.
Ən sadə axın ən sadə riyazi təsvirə malikdir. Digər paylanma qanunları arasında normal paylanma qanunu olduğu kimi axınlar arasında da xüsusi rol oynayır. Məhz, kifayət qədər çox sayda müstəqil, stasionar və adi axınlar (intensivlik baxımından bir-biri ilə müqayisə edilə bilən) üst-üstə qoyulduqda, ən sadəinə yaxın bir axın əldə edilir.
İntensivlik intervalı ilə ən sadə axın üçün T Qonşu hadisələr arasında sözdə var eksponensial (eksponensial) paylanma sıxlığı ilə:
eksponensial qanunun parametri haradadır.
Təsadüfi dəyişən üçün T eksponensial paylanmaya malik olan riyazi gözlənti parametrin əksidir və standart kənarlaşma riyazi gözləntiyə bərabərdir:
Diskret vəziyyətləri və fasiləsiz vaxtı olan Markov proseslərini nəzərə alsaq, sistemin bütün keçidlərinin S vəziyyətdən vəziyyətə ən sadə hadisə axınlarının (çağırış axınları, uğursuzluq axınları, bərpa axınları və s.) təsiri altında baş verir. Bütün hadisələrin axını sistemə çevrilirsə S vəziyyətdən ən sadə vəziyyətə, sonra sistemdə meydana gələn proses Markovian olacaq.
Deməli, dövlətdəki sistem təsirlənir ən sadə axın hadisələr. Bu axının ilk hadisəsi görünən kimi sistem bir vəziyyətdən vəziyyətə "sıçrayır" (dövlət qrafikində, ox boyunca).
Aydınlıq üçün sistem vəziyyətlərinin qrafikində hər bir qövs sistemi bu qövs (ox) boyunca köçürən hadisələrin axınının intensivliyi ilə qeyd olunur. - hadisələrin axınının intensivliyi, sistemin dövlətdən . Belə bir qrafik deyilir etiketli. Nümunəmiz üçün etiketli qrafik Şek. 3.
düyü. 3. İşarəli sistem vəziyyəti qrafiki
Bu rəqəmdə - uğursuzluq axınının intensivliyi; - bərpa axınının intensivliyi.
Biz hesab edirik ki, bir maşının təmiri üçün orta vaxt bir maşının və ya hər ikisinin eyni vaxtda təmir olunmasından asılı deyil. Bunlar. Hər bir maşın ayrıca mütəxəssis tərəfindən təmir olunur.
Qoy sistem dövlətdə olsun S 0 . Vəziyyətdə S 1 ilk maşının uğursuz axını ilə tərcümə olunur. Onun intensivliyi:
birinci maşının orta işləmə müddəti haradadır.
Dövlət xaricində S 1 in S 0 sistem ilk maşının "təmir bitmələri" axını ilə ötürülür. Onun intensivliyi:
birinci maşının orta təmir müddəti haradadır.
Eynilə, sistemi bütün qrafik qövsləri boyunca köçürən hadisələrin axınlarının intensivliyi hesablanır. Sistem vəziyyətlərinin etiketli qrafikinə malik olmaqla, a riyazi model bu proses.
Nəzərə alınan sistemə icazə verin S-mümkün vəziyyətlərə malikdir. Vəziyyətin ehtimalı, sistemin zamanla vəziyyətdə olması ehtimalıdır. Aydındır ki, istənilən an üçün bütün vəziyyət ehtimallarının cəmi birə bərabərdir:
Vəziyyətlərin bütün ehtimallarını zamanın funksiyaları kimi tapmaq üçün tərtib edib həll edirik Kolmoqorov tənlikləri– naməlum funksiyaların vəziyyətlərin ehtimalları olduğu xüsusi bir tənlik növü. Biz burada bu tənlikləri sübut olmadan tərtib etmək qaydasını veririk. Ancaq onu təqdim etməzdən əvvəl konsepsiyanı izah edək son vəziyyət ehtimalı .
Dövlətlərin ehtimalları nə olacaq? Onlar hər hansı bir məhdudiyyət üçün səy göstərəcəklərmi? Əgər bu məhdudiyyətlər mövcuddursa və sistemin ilkin vəziyyətindən asılı deyilsə, o zaman çağırılır son vəziyyət ehtimalları .
sistem hallarının sonlu sayı haradadır.
Yekun vəziyyət ehtimalları artıq dəyişənlər (zamanın funksiyaları) deyil, sabit ədədlərdir. Aydındır ki:
Yekun vəziyyət ehtimalı mahiyyətcə sistemin bu vəziyyətdə keçirdiyi orta nisbi vaxtdır.
Məsələn, sistem Süç dövlətə malikdir S 1 , S 2 və S 3 . Onların yekun ehtimalları müvafiq olaraq 0,2-dir; 0,3 və 0,5. Bu o deməkdir ki, məhdudlaşdırıcı stasionar vəziyyətdə olan sistem dövlətdə vaxtın orta hesabla 2/10 hissəsini keçirir S 1 , 3/10 - bacarır S 2 və 5/10 - bacarır S 3 .
Kolmoqorov tənlikləri sisteminin tərtibi qaydası: sistemin hər bir tənliyində onun sol tərəfində bütün axınların ümumi intensivliyinə vurulan bu vəziyyətin son ehtimalıdır, bu dövlətdən irəli gəlir, a onun sağında hissələri bütün axınların intensivliklərinin məhsullarının cəmidir, daxil -ci dövlət, bu axınların yarandığı dövlətlərin ehtimalları üzrə.
Bu qaydadan istifadə edərək tənliklər sistemini yazırıq nümunəmiz üçün :
.
Belə görünür ki, dörd naməlum olan bu dörd tənlik sistemi tamamilə həll edilə bilər. Lakin bu tənliklər homojendir (sərbəst termini yoxdur) və buna görə də naməlumları yalnız ixtiyari faktora qədər təyin edirlər. Bununla belə, normallaşdırma şərtindən istifadə edə bilərsiniz: 
və sistemi həll etmək üçün istifadə edin. Bu halda, tənliklərdən biri (hər hansı) ləğv edilə bilər (qalanlarının nəticəsi olaraq belədir).
Nümunənin davamı. Axın intensivliklərinin dəyərləri bərabər olsun: .
Dördüncü tənliyi ləğv edirik, yerinə normallaşdırma şərtini əlavə edirik:
.
Bunlar. məhdudlaşdırıcı, stasionar rejimdə, sistem S orta hesabla vaxtın 40%-i dövlətdə keçəcək S 0 (hər iki maşın yaxşı vəziyyətdədir), 20% - yaxşı vəziyyətdədir S 1 (birinci maşın təmirdədir, ikincisi işləyir), 27% - yaxşı vəziyyətdədir S 2 (ikinci maşın təmirdədir, birinci işləyir), 13% - vəziyyətdədir S 3 (hər iki maşın təmirdədir). Bu son ehtimalları bilmək sistemin orta səmərəliliyini və təmir orqanlarının yükünü qiymətləndirməyə kömək edə bilər.
Sistem olsun S vəziyyətdə S 0 (tamamilə işlək) bir vəziyyətdə 8 şərti vahidin bir zaman vahidinə gəlir gətirir S 1 - gəlir 3 şərti vahid, bacarır S 2 – 5 şərti vahidin gəliri, bacarır S 3 - gəlir gətirmir. Sonra, məhdudlaşdırıcı, stasionar rejimdə, vaxt vahidinə düşən orta gəlir bərabər olacaq: şərti vahidlər.
Maşın 1 aşağıdakılara bərabər bir müddət ərzində təmir olunur: . Maşın 2 vaxtın bir hissəsinə bərabər təmir olunur: . Oyanır optimallaşdırma problemi. Tutaq ki, birinci və ya ikinci maşının (və ya hər ikisinin) orta təmir müddətini azalda bilərik, lakin bu, bizə müəyyən məbləğə başa gələcək. Sual olunur ki, daha sürətli təmirlə bağlı gəlir artımı artan təmir xərclərini ödəyəcəkmi? Dörd naməlum olan dörd tənlik sistemini həll etmək lazım gələcək.
Növbə sistemlərinə (QS) nümunələr: telefon stansiyaları, təmir sexləri, bilet kassaları, məlumat masaları, dəzgahlar və digər texnoloji sistemlər, çevik idarəetmə sistemləri istehsal sistemləri və s.
Hər bir QS müəyyən sayda xidmət bölməsindən ibarətdir və onlar çağırılır xidmət kanalları(bunlar dəzgahlar, nəqliyyat arabaları, robotlar, rabitə xətləri, kassirlər, satıcılar və s.). Hər QS bəzi xidmətlər üçün nəzərdə tutulmuşdur tətbiq axını(tələblər) təsadüfi bir zamanda gələn.
Sorğunun xidməti müəyyən müddət ərzində, ümumiyyətlə, təsadüfi vaxtda davam edir, bundan sonra kanal buraxılır və növbəti sorğunu qəbul etməyə hazırdır. Ərizə axınının və xidmət müddətinin təsadüfi xarakteri ona gətirib çıxarır ki, müəyyən vaxtlarda QS-nin girişində lazımsız çoxlu sayda ərizə toplanır (onlar ya növbəyə daxil olurlar, ya da QS-ni xidmət etmədən tərk edirlər). Digər dövrlərdə QS az yüklə işləyəcək və ya hətta boş dayanacaq.
QS əməliyyat prosesi diskret vəziyyətlərə və davamlı vaxta malik təsadüfi bir prosesdir. QS-nin vəziyyəti bəzi hadisələrin baş verdiyi anlarda (yeni sorğunun gəlməsi, xidmətin başa çatması, gözləməkdən yorulan sorğunun növbəni tərk etdiyi an) kəskin şəkildə dəyişir.
Növbə nəzəriyyəsinin mövzusu– QS-nin verilmiş iş şəraitini (kanalların sayı, onların performansı, işləmə qaydaları, tətbiqlərin axınının xarakteri) bizi maraqlandıran xüsusiyyətlərlə birləşdirən riyazi modellərin qurulması - QS-nin performans göstəriciləri. Bu göstəricilər CMO-nun sorğu axınının öhdəsindən gəlmək qabiliyyətini təsvir edir. Onlar aşağıdakılar ola bilər: QS-nin vaxt vahidinə xidmət etdiyi proqramların orta sayı; məşğul kanalların orta sayı; növbədə olan müraciətlərin orta sayı; xidmət üçün orta gözləmə müddəti və s.
QS işinin riyazi təhlili, bu işin prosesi Markovian olarsa, çox asanlaşdırılır, yəni. sistemi bir vəziyyətdən vəziyyətə köçürən hadisə axınları ən sadədir. Əks halda, prosesin riyazi təsviri çox mürəkkəbləşir və onu xüsusi analitik asılılıqlara çatdırmaq nadir hallarda mümkün olur. Praktikada qeyri-Markov prosesləri yaxınlaşma ilə Markov proseslərinə endirilir. Aşağıdakı riyazi aparat Markov proseslərini təsvir edir.
Birinci bölmə (növbələrin olması ilə):
1. Uğursuzluqlarla QS;
2. Növbə ilə CMO.
Uğursuzluqlarla CMO-da bütün kanalların məşğul olduğu anda gələn sorğu rədd edilir, QS-dən çıxır və daha sonra xidmət göstərilmir.
CMO-da növbə ilə bütün kanalların məşğul olduğu bir vaxtda gələn proqram getmir, növbəyə durur və xidmət üçün fürsət gözləyir.
Növbələri olan QS bölünürüstündə fərqli növlər növbənin necə təşkil olunduğundan asılı olaraq - məhdud və ya məhdud deyil. Məhdudiyyətlər həm növbənin uzunluğuna, həm də gözləmə müddətinə, “xidmət intizamına” aid ola bilər.
Beləliklə, məsələn, aşağıdakı QS hesab olunur:
· Səbirsiz sorğularla QS (növbə uzunluğu və xidmət müddəti məhduddur);
· Prioritet xidməti ilə QS, yəni. bəzi proqramlara növbəsiz xidmət göstərilir və s.
Bundan əlavə, QS açıq QS və qapalı QS-ə bölünür.
Açıq CMO-da tətbiqlər axınının xüsusiyyətləri QS-nin özünün vəziyyətindən (neçə kanalın məşğul olmasından) asılı deyil. Qapalı QS-də- asılı. Məsələn, bir işçi vaxtaşırı tənzimləmə tələb edən maşınlar qrupuna qulluq edirsə, o zaman maşınlardan "tələblər" axınının intensivliyi onlardan neçəsinin artıq qaydasında olmasından və tənzimlənməsini gözləməsindən asılıdır.
CMO-ların təsnifatı yuxarıda göstərilən növlərlə məhdudlaşmaqdan uzaqdır, lakin bu kifayətdir.
Gözləmə ilə ən sadə QS-i nəzərdən keçirin - intensivliklə sorğu axını qəbul edən bir kanallı sistem (n - 1); xidmət intensivliyi (yəni, orta hesabla, davamlı məşğul olan kanal vahid (vaxt) başına xidmət edilən sorğular verəcəkdir. Kanalın məşğul olduğu anda gələn sorğu növbəyə düşür və xidməti gözləyir.
Məhdud növbə uzunluğu olan bir sistem. Əvvəlcə fərz edək ki, növbədəki yerlərin sayı m sayı ilə məhdudlaşır, yəni. əgər müştəri növbədə artıq m-müştərilərin olduğu bir vaxtda gələrsə, sistemi xidmətsiz qoyur. Gələcəkdə m sonsuzluğa meyl edərsə, növbə uzunluğuna məhdudiyyət qoymadan birkanallı QS-nin xüsusiyyətlərini əldə edirik.
QS vəziyyətlərini sistemdəki sorğuların sayına görə nömrələyəcəyik (həm xidmət göstərilən, həm də gözlənilən xidmət):
Kanal pulsuzdur;
Kanal məşğuldur, növbə yoxdur;
Kanal məşğuldur, bir proqram növbədədir;
Kanal məşğuldur, k-1 sorğuları növbədədir;
Kanal məşğuldur, t-proqramlar növbədədir.
GSP Şəkildə göstərilmişdir. 4. Soldan sağa oxlar boyunca sistemə keçən hadisələr axınlarının bütün intensivlikləri bərabər, sağdan sola - . Həqiqətən də, soldan sağa olan oxlara görə sistem sorğuların axını (sorğu gələn kimi sistem növbəti vəziyyətə keçir), sağdan sola - “buraxılış” axını ilə ötürülür. intensivliyi olan məşğul kanal (növbəti sorğu yerinə yetirilən kimi kanal ya boşalacaq, ya da növbədəki proqramların sayını azaldacaq).
düyü. 4. Gözləmə ilə tək kanallı QS
Şəkildə göstərilmişdir. 4 sxemi çoxalma və ölüm sxemidir. Vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün ifadələr yazaq:
(5)
və ya istifadə edərək::
(6)
(6)-nın sonuncu sətirində birinci hədd 1 və məxrəc p ilə həndəsi irəliləyiş var, ondan əldə edirik:
(7)
bununla əlaqədar olaraq marjinal ehtimallar aşağıdakı formanı alır:
(8).
İfadə (7) yalnız üçün etibarlıdır< 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m+2, и в этом случае:
QS-nin xüsusiyyətlərini müəyyən edək: uğursuzluq ehtimalı, nisbi ötürmə qabiliyyəti q, mütləq ötürmə qabiliyyəti A, növbənin orta uzunluğu, sistemlə əlaqəli tətbiqlərin orta sayı, növbədə orta gözləmə müddəti, orta yaşayış yeri. QS-də tətbiqin vaxtı.
Uğursuzluq ehtimalı. Aydındır ki, sorğu yalnız kanalın məşğul olduğu və növbədə olan bütün m yerlərin olduğu halda rədd edilir:
(9).
Nisbi məhsuldarlıq:
(10).
Orta növbə uzunluğu. Növbədəki tətbiqlərin orta sayını diskret təsadüfi dəyişənin R-nin riyazi gözləntisi kimi tapaq:
Ehtimalla, növbədə bir proqram var, ehtimalla - iki proqram, ümumiyyətlə, ehtimalla, növbədə k-1 tətbiqləri var və s., buradan:
(11).
Çünki (11)-dəki cəmi həndəsi irəliləyişin cəminə görə törəmə kimi qəbul edilə bilər:
Bu ifadəni (11) ilə əvəz edərək və (8)-dən istifadə edərək nəhayət əldə edirik:
(12).
Sistemdəki iddiaların orta sayı. Sonra, sistemlə əlaqəli sorğuların (həm növbədə, həm də xidmətdə) orta sayı üçün düstur alırıq. Xidmətdə olan tətbiqlərin orta sayı haradadır və k məlum olduğundan, müəyyən etmək qalır. Yalnız bir kanal olduğundan, xidmət edilən sorğuların sayı 0 (ehtimalla ) və ya 1 (ehtimal 1 - ) ola bilər, buradan:
.
QS ilə əlaqəli tətbiqlərin orta sayı:
(13).
Növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti. Onu işarə edək; əgər müştəri müəyyən vaxtda sistemə daxil olarsa, o zaman xidmət kanalı çox güman ki, məşğul olmayacaq və növbəyə durmaq məcburiyyətində qalmayacaq (gözləmə müddəti sıfırdır). Çox güman ki, o, hansısa proqrama xidmət zamanı sistemə daxil olacaq, lakin onun qarşısında heç bir növbə olmayacaq və proqram müəyyən müddət ərzində öz xidmətinin başlamasını gözləyəcək (bir proqrama xidmət göstərilməsi üçün orta vaxt). ərizə). Ehtimalla, baxılan müraciətdən əvvəl növbədə daha biri olacaq və orta gözləmə müddəti bərabər olacaq və s.
Əgər k=m+1 olarsa, yəni. yeni gələn müştəri xidmət kanalını məşğul tapdıqda və növbədə m-müştərilər olduqda (bunun ehtimalı ), onda bu halda müştəri növbəyə durmur (və xidmət göstərilmir), ona görə də gözləmə müddəti sıfırdır. Orta gözləmə müddəti:
burada ehtimalları (8) ifadələrini əvəz etsək, alarıq:
(14).
Burada (11), (12) (həndəsi irəliləyişin törəməsi), həmçinin (8)-dən olan münasibətlərdən istifadə olunur. Bu ifadəni (12) ilə müqayisə etdikdə qeyd edirik ki, başqa sözlə desək, orta gözləmə müddəti ərizə axınının intensivliyinə bölünən növbədəki müraciətlərin orta sayına bərabərdir.
(15).
Sistemdə sorğunun orta qalma müddəti. Gəlin qeyd edək - təsadüfi dəyişənin gözləntisi - proqramın QS-də qalma vaxtını, növbədə orta gözləmə müddəti ilə orta xidmət vaxtının cəmidir. Sistem yükü 100% olarsa, əks halda:
.
Misal 1. Yanacaqdoldurma məntəqəsi (yanacaqdoldurma məntəqəsi) bir xidmət kanalı (bir sütun) olan QS-dir.
Stansiyadakı sayt eyni anda üçdən çox olmayan avtomobilin yanacaq doldurma növbəsində qalmasına imkan verir (m = 3). Əgər növbədə artıq üç maşın varsa, stansiyaya gələn növbəti vaqon növbəyə durmur. Yanacaq doldurmaq üçün gələn avtomobillərin axınının intensivliyi = 1 (dəqiqədə avtomobil). Yanacaq doldurma prosesi orta hesabla 1,25 dəqiqə davam edir.
Müəyyənləşdirmək:
uğursuzluq ehtimalı;
yanacaqdoldurma məntəqələrinin nisbi və mütləq tutumu;
yanacaq doldurulmasını gözləyən avtomobillərin orta sayı;
yanacaqdoldurma məntəqəsindəki avtomobillərin orta sayı (o cümlədən xidmət göstərilən);
növbədə bir avtomobil üçün orta gözləmə müddəti;
avtomobilin yanacaqdoldurma məntəqəsində qalma müddəti (xidmət daxil olmaqla).
Başqa sözlə, orta gözləmə müddəti növbədəki müraciətlərin orta sayının ərizə axınının intensivliyinə bölünməsinə bərabərdir.
Əvvəlcə tətbiqlər axınının azaldılmış intensivliyini tapırıq: =1/1,25=0,8; =1/0,8=1,25.
Düsturlara görə (8):
Uğursuzluq ehtimalı 0,297-dir.
QS-nin nisbi tutumu: q=1-=0,703.
QS-nin mütləq ötürmə qabiliyyəti: A==0,703 maşın/dəqiqə.
Növbədə olan avtomobillərin orta sayı (12) düsturu ilə tapılır:
olanlar. yanacaqdoldurma məntəqəsi üçün növbə gözləyən avtomobillərin orta sayı 1,56-dır.
Bu dəyərə xidmətdə olan avtomobillərin orta sayını əlavə etməklə:
yanacaqdoldurma məntəqəsi ilə əlaqəli avtomobillərin orta sayını alırıq.
Formula (15) uyğun olaraq növbədə bir avtomobilin orta gözləmə müddəti:
Bu dəyərə əlavə edərək, avtomobilin yanacaqdoldurma məntəqəsində keçirdiyi orta vaxtı alırıq:
Limitsiz gözləmə ilə sistemlər. Belə sistemlərdə m-in qiyməti məhdudlaşdırılmır və buna görə də əvvəllər alınmış (5), (6) ifadələrindəki həddinə keçməklə əsas xarakteristikaları əldə etmək olar.
Qeyd edək ki, bu halda sonuncu düsturda (6) məxrəc həndəsi proqresiyanın sonsuz sayda üzvlərinin cəmidir. Proqressiyanın sonsuz azaldığı zaman bu məbləğ birləşir, yəni. saat<1.
Bunu sübut etmək olar<1 есть условие, при котором в СМО с ожиданием существует предельный установившийся режим, иначе такого режима не существует, и очередь при будет неограниченно возрастать. Поэтому в дальнейшем здесь предполагается, что <1.
Əgər, onda münasibətlər (8) formasını alır:
(16).
Növbənin uzunluğu ilə bağlı heç bir məhdudiyyət yoxdursa, sistemə daxil olan hər sorğuya xidmət göstəriləcək, ona görə də q=1, 
.
Növbədəki sorğuların orta sayı (12) ilə əldə edilir:
Aşağıdakılar üçün (13) düsturuna uyğun olaraq sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
.
Düsturdan (14) orta gözləmə müddətini alırıq:
.
Nəhayət, QS-də ərizənin orta yaşayış müddəti:
Məhdud növbə uzunluğuna malik sistem. İntensivliklə sorğu axını qəbul edən gözləməli QS kanalını nəzərdən keçirək; xidmət intensivliyi (bir kanal üçün); növbədə olan yerlərin sayı.
Sistem vəziyyətləri sistem tərəfindən qoşulan sorğuların sayına görə nömrələnir:
növbə yoxdur:
Bütün kanallar pulsuzdur;
Bir kanal məşğuldur, qalanları pulsuzdur;
Məşğul -kanallar, qalanları deyil;
Bütün kanallar işğal olunub, pulsuz olanlar yoxdur;
növbə var:
Bütün n-kanallar işğal olunub; bir tətbiq növbədədir;
Bütün n-kanallar işğal olunub, r-sorğular növbədə;
Bütün n-kanallar işğal olunub, r-sifarişlər növbədədir.
GSP şəkildə göstərilmişdir. 17. Hər bir ox hadisə axınının müvafiq intensivliyinə malikdir. Soldan sağa oxlara görə sistem həmişə intensivliyi ilə eyni sorğu axını ilə ötürülür , sağdan sola oxlara görə sistem intensivliyi bərabər olan, vurulan xidmət axını ilə ötürülür. məşğul kanalların sayına görə.
düyü. 17. Gözləmə ilə çoxkanallı QS
Qrafik, həlli əvvəllər əldə edilmiş çoxalma və ölüm prosesləri üçün xarakterikdir. : işarəsindən istifadə edərək vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün ifadələr yazaq (burada məxrəclə həndəsi irəliləyişin cəmi ifadəsindən istifadə edirik).
Beləliklə, bütün dövlət ehtimalları tapılır.
Sistemin səmərəliliyinin xüsusiyyətlərini müəyyən edək.
Uğursuzluq ehtimalı. Növbədəki bütün n-kanallar və bütün m-yerlər tutularsa, gələn sorğu rədd edilir:
(18)
Nisbi məhsuldarlıq uğursuzluq ehtimalını birinə tamamlayır:
QS-nin mütləq ötürmə qabiliyyəti:
(19)
Məşğul olan kanalların orta sayı. Uğursuzluqları olan CMO-lar üçün bu, sistemdəki tətbiqlərin orta sayı ilə üst-üstə düşdü. Növbəli QS üçün məşğul kanalların orta sayı sistemdəki sorğuların orta sayı ilə üst-üstə düşmür: sonuncu dəyər birincidən növbədə olan sorğuların orta sayı ilə fərqlənir.
Məşğul olan kanalların orta sayını qeyd edək. Hər bir məşğul kanal orta hesabla xidmət edir - vaxt vahidi üçün sorğular və bütövlükdə QS orta hesabla A xidmət göstərir - vaxt vahidi üçün sorğular. Birini digərinə bölərək əldə edirik:
Növbədəki sorğuların orta sayı birbaşa diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kimi hesablana bilər:
(20)
Burada yenə də (mötərizədə ifadə) həndəsi irəliləmənin cəminin törəməsi meydana gəlir (yuxarıya bax (11), (12) - (14)), bunun üçün nisbətdən istifadə edərək, əldə edirik:
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
Növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti. Yeni gələn sorğunun sistemi tapacağı və xidmət üçün nə qədər gözləməli olacağı vəziyyətində fərqlənən bir sıra vəziyyətləri nəzərdən keçirək.
Müəssisə bütün kanalları məşğul tapmasa, o, ümumiyyətlə gözləməli olmayacaq (riyazi gözləntidə müvafiq şərtlər sıfıra bərabərdir). Əgər sorğu bütün n-kanalların tutulduğu və növbə olmadığı anda çatırsa, o, orta hesabla bərabər vaxt gözləməli olacaq (çünki -kanalların “buraxılış axını” intensivliyə malikdir ). Müştəri bütün kanalların məşğul olduğunu və qarşısında bir müştərinin növbədə olduğunu görsə, o, orta hesabla müəyyən bir müddət (qarşıdakı hər bir müştəri üçün) və s. vaxt gözləməli olacaq. Əgər yeni gələn müştəri növbədə artıq m-müştəri tapırsa, o, heç gözləməyəcək (lakin onlara da xidmət göstərilməyəcək). Bu dəyərlərin hər birini müvafiq ehtimallara vuraraq orta gözləmə müddətini tapırıq:
(21)
Gözləmə ilə bir kanallı QS vəziyyətində olduğu kimi, qeyd edirik ki, bu ifadə orta növbə uzunluğu üçün ifadədən (20) yalnız faktorla fərqlənir, yəni.
.
Sistemdə sorğunun, eləcə də bir kanallı QS üçün orta qalma müddəti orta gözləmə müddətindən nisbi ötürmə qabiliyyətinə vurulan orta xidmət müddətinə görə fərqlənir:
.
Limitsiz növbə uzunluğuna malik sistemlər. Biz gözləmə ilə QS kanalını nəzərdən keçirmişik ki, eyni zamanda m-dən çox müştəri ola bilməz.
Əvvəllər olduğu kimi, məhdudiyyətsiz sistemləri təhlil edərkən, üçün əldə edilən əlaqələri nəzərə almaq lazımdır.
Düsturlardan həddi keçməklə vəziyyətlərin ehtimallarını alırıq ( at ). Qeyd edək ki, müvafiq həndəsi irəliləmənin cəmi >1-də yaxınlaşır və uzaqlaşır. Bunu fərz etsək<1 и устремив в формулах величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:
(22)
Uğursuzluq ehtimalı, nisbi və mütləq ötürmə qabiliyyəti. Hər bir sorğu gec-tez təqdim ediləcəyi üçün QS ötürmə xüsusiyyətləri aşağıdakı kimi olacaq:
Növbədəki sorğuların orta sayı (20) əldə edilir:
,
və orta gözləmə müddəti (21):
.
Məşğul kanalların orta sayı, əvvəlki kimi, mütləq ötürmə qabiliyyəti baxımından müəyyən edilir:
.
QS ilə əlaqəli müştərilərin orta sayı növbədəki müştərilərin orta sayı və xidmətdə olan müştərilərin orta sayı (məşğul kanalların orta sayı) kimi müəyyən edilir:
Nümunə 2. İki dispenser (n = 2) olan yanacaqdoldurma məntəqəsi =0,8 (dəqiqədə avtomobil sayı) olan avtomobil axınına xidmət edir. Bir maşın üçün orta xidmət müddəti:
Ərazidə başqa yanacaqdoldurma məntəqəsi olmadığı üçün yanacaqdoldurma məntəqəsinin qarşısındakı avtomobil növbəsi demək olar ki, sonsuza qədər arta bilər. QS-nin xüsusiyyətlərini tapın.
kimi<1, очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. По формулам (22) находим вероятности состояний:
və s.
QS A==0.8-in mütləq ötürmə qabiliyyətini xidmət intensivliyinə=0.5 bölmək yolu ilə işğal olunmuş kanalların orta sayını tapırıq:
Yanacaqdoldurma məntəqəsində növbə olma ehtimalı:
Növbədə olan avtomobillərin orta sayı:
Yanacaqdoldurma məntəqələrində avtomobillərin orta sayı:
Növbədə orta gözləmə müddəti:
Avtomobilin yanacaqdoldurma məntəqəsində qalma müddəti:
Məhdud gözləmə vaxtı ilə CMO. Əvvəllər biz gözləmə sistemlərini yalnız növbə uzunluğu ilə (növbədə eyni vaxtda m-müştərilərin sayı) məhdudlaşdıran hesab edirdik. Belə bir QS-də növbəyə çevrilmiş iddia xidmət gözləyincəyə qədər onu tərk etmir. Təcrübədə, tətbiq bir müddət gözlədikdən sonra növbəni ("səbirsiz" tətbiqlər adlanan) tərk edə biləcəyi başqa bir növ QS var.
Gözləmə vaxtı məhdudiyyətinin təsadüfi dəyişən olduğunu fərz edərək, bu tip QS-ni nəzərdən keçirək.
Fərz edək ki, növbədəki yerlərin sayı məhdud olmayan, lakin müştərinin növbədə keçirdiyi vaxt orta qiymətə malik təsadüfi dəyişəndir, beləliklə, hər bir müştəri öz növbəsində n-kanallı QS-nin növbə intensivliklə bir növ Poisson "qayğı axınına" məruz qalır:
Əgər bu axın Puassondursa, QS-də baş verən proses Markov olacaq. Bunun üçün vəziyyətlərin ehtimallarını tapaq. Sistem vəziyyətlərinin nömrələnməsi sistemdəki sorğuların sayı ilə əlaqələndirilir - həm xidmət edilən, həm də növbəyə qoyulan:
növbə yoxdur:
Bütün kanallar pulsuzdur;
Bir kanal məşğuldur;
İki kanal məşğuldur;
Bütün n-kanallar işğal olunub;
növbə var:
Bütün n-kanallar işğal olunub, bir proqram növbədədir;
Bütün n-kanallar məşğuldur, r-sorğular növbədədir və s.
Sistemin vəziyyətlərinin və keçidlərinin qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 23.
düyü. 23. Məhdud gözləmə müddəti ilə QS
Gəlin bu qrafiki əvvəlki kimi etiketləyək; soldan sağa gedən bütün oxlar tətbiq axınının intensivliyinə malik olacaq. Növbəsi olmayan dövlətlər üçün onlardan sağdan sola gedən oxlar, əvvəlki kimi, bütün məşğul kanalların xidmət axınının ümumi intensivliyinə malik olacaq. Növbəli dövlətlərə gəldikdə, onlardan sağdan sola gedən oxlar bütün n-kanalların xidmət axınının ümumi intensivliyinə üstəgəl növbədən gediş axınının müvafiq intensivliyinə malik olacaqdır. Əgər növbədə r-sifarişlər varsa, o zaman gediş axınının ümumi intensivliyi bərabər olacaq.
Qrafikdən göründüyü kimi, çoxalma və ölüm nümunəsi var; Bu sxemdə vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimalları üçün ümumi ifadələri tətbiq edərək (qısaldılmış qeyddən istifadə edərək yazırıq:
(24)
“Xəstə” iddiaları ilə əvvəllər nəzərdən keçirilmiş QS ilə müqayisədə məhdud gözləmə ilə QS-nin bəzi xüsusiyyətlərini qeyd edək.
Əgər növbə uzunluğu məhdud deyilsə və müştərilər “səbirli”dirlərsə (növbədən çıxmayın), onda stasionar limit rejimi yalnız halda mövcuddur (üçün , müvafiq sonsuz həndəsi irəliləyiş ayrılır ki, bu da fiziki olaraq qeyri-məhdud artıma uyğundur). üçün növbə).
Əksinə, “səbirsiz” müştərilərin növbəni gec və ya tez tərk etdiyi QS-də müştəri axınının intensivliyinin azaldılmasından asılı olmayaraq həmişə sabit xidmət rejimi əldə edilir. Bu, (24) düsturunun məxrəcindəki for seriyasının və hər hansı müsbət qiymətləri üçün yaxınlaşmasından irəli gəlir.
"Səbirsiz" tətbiqləri olan CMO-lar üçün "uğursuzluq ehtimalı" anlayışı mənasızdır - hər bir proqram növbəyə girir, lakin vaxtından əvvəl ayrılaraq xidməti gözləməyə bilər.
Nisbi ötürmə qabiliyyəti, növbədəki tətbiqlərin orta sayı. Belə QS-nin nisbi ötürmə qabiliyyəti q aşağıdakı kimi hesablana bilər. Aydındır ki, növbədən vaxtından əvvəl çıxanlar istisna olmaqla, bütün müraciətlərə xidmət göstəriləcək. Növbədən vaxtından əvvəl çıxan sorğuların orta sayını hesablayaq. Bunu etmək üçün növbədəki tətbiqlərin orta sayını hesablayırıq:
Bu sorğuların hər biri üçün intensivliyi ilə "çıxış axını" var. Bu o deməkdir ki, növbədə olan -sorğuların orta sayından orta hesabla -sorğular xidmət gözləmədən çıxacaq, -vahid vaxta və yalnız -sorğulara orta hesabla vaxt vahidinə xidmət göstəriləcəkdir. QS-nin nisbi ötürmə qabiliyyəti:
Məşğul olan kanalların orta sayı hələ də mütləq A-nı aşağıdakılara bölməklə əldə edilir:
(26)
Növbədəki müraciətlərin orta sayı. Münasibət (26) sonsuz seriyanı (25) cəmləmədən növbədəki sorğuların orta sayını hesablamağa imkan verir. (26)-dan əldə edirik:
və bu düstura daxil edilmiş məşğul kanalların orta sayını 0, 1, 2,..., n ehtimalları ilə qəbul edən Z təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kimi tapmaq olar:
Sonda qeyd edirik ki, əgər (24) düsturlarında həddi keçsək (və ya eyni olan ) onda düsturlar (22) alınacaq, yəni “səbirsiz” sorğular “səbirli” olacaq.
İndiyə qədər daxil olan axının gedən ilə heç bir şəkildə əlaqəli olmadığı sistemləri nəzərdən keçirdik. Belə sistemlər açıq adlanır. Bəzi hallarda, xidmət göstərilən sorğular, gecikmədən sonra yenidən daxil olur. Belə QS qapalı adlanır. Müəyyən bir ərazidə xidmət göstərən poliklinika, bir qrup maşına təyin edilmiş işçilər qrupu qapalı sistemlərə misal ola bilər.
Qapalı QS-də eyni məhdud sayda potensial tələblər dövr edir. Potensial tələb xidmət tələbi kimi reallaşdırılana qədər o, gecikmə blokunda hesab olunur. Həyata keçirmə zamanı sistemin özünə daxil olur. Məsələn, işçilər bir qrup maşına xidmət göstərirlər. Hər bir maşın potensial tələbdir, xarab olduğu anda real birinə çevrilir. Maşın işləyərkən gecikdirmə blokundadır və xarab olduğu andan təmirin sonuna qədər sistemin özündədir. Hər bir işçi bir xidmət kanalıdır.
Qoy olsun n- xidmət kanallarının sayı, s- potensial tətbiqlərin sayı, n <s , - hər bir potensial tələb üçün ərizə axınının intensivliyi, μ - xidmətin intensivliyi:
Sistemin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir
R
0
= 
.
Sistem vəziyyətlərinin son ehtimalları:
P k= at k
Bu ehtimallar məşğul kanalların orta sayını ifadə edir
=P 1 + 2P 2 +…+n(P n +P n+ 1 +…+Ps) və ya
=P 1 + 2P 2 +…+(n- 1)Pn- 1 +n( 1-P 0 -P 1 -…-S n-1 ).
Sistemin mütləq bant genişliyini tapırıq:
eləcə də sistemdəki tətbiqlərin orta sayı
M=s- =s-.
Misal 1. Uğursuzluqları olan üç kanallı QS-nin girişi intensivliklə tətbiq axını alır \u003d dəqiqədə 4 sorğu, bir kanal tərəfindən tətbiqə xidmət vaxtı t xidmət =1/μ =0,5 dəq. QS ötürmə qabiliyyəti baxımından hər üç kanalı birdən tətbiqlərə xidmət etməyə məcbur etmək sərfəlidirmi və orta xidmət müddəti üç dəfə azalır? Bu, ərizənin CMO-da keçirdiyi orta vaxta necə təsir edəcək?
Qərar.Üç kanallı QS-nin dayanma ehtimalını düsturla tapırıq
ρ = /μ=4/2=2, n=3,
P 0 = = = 0,158.
Uğursuzluq ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
P otk \u003d P n ==
P otk = 0,21.
Sistemin nisbi ötürmə qabiliyyəti:
P xidməti = 1-R otk 1-0,21=0,79.
Mütləq sistem bant genişliyi:
A= P xidməti 3,16.
Məşğul olan kanalların orta sayı düsturla müəyyən edilir:
1.58, xidmət tərəfindən tutulan kanalların payı,
q = 0,53.
QS-də ərizənin orta qalma müddəti ərizənin xidmət üçün qəbul edilməsi ehtimalının orta xidmət müddətinə vurulması kimi tapılır: t QS 0.395 dəq.
Bütün üç kanalı bir yerə birləşdirərək, parametrləri olan bir kanallı sistem əldə edirik μ= 6, ρ= 2/3. Tək kanallı sistem üçün dayanma ehtimalı:
R 0 = = =0,6,
uğursuzluq ehtimalı:
P açıq =ρ P 0 = = 0,4,
nisbi məhsuldarlıq:
P xidməti = 1-R otk =0,6,
mütləq bant genişliyi:
A=P xidmət = 2.4.
t CMO = R xidməti= =0,1 dəq.
Kanalların birində birləşdirilməsi nəticəsində sistemin ötürmə qabiliyyəti azalıb, çünki uğursuzluq ehtimalı artıb. Sistemdə müraciətin orta qalma müddəti azalıb.
Misal 2. İlə üç kanallı QS-in girişinə limitsiz növbə sorğular axını intensivliklə gəlir =Saatda 4 sorğu, bir sorğu üçün orta xidmət müddəti t=1/μ=0,5 h.Sistemin iş göstəricilərini tapın.
Nəzərdən keçirilən sistem üçün n =3, =4, μ=1/0,5=2, ρ= /µ=2, ρ/ n =2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
P= 
.
P
0
= 
=1/9.
Növbədəki müraciətlərin orta sayı düsturla tapılır:
L
=
.
L = = .
Növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti düsturla hesablanır:
t= = 0,22 saat.
Müraciətin sistemdə orta qalma müddəti:
T=t+ 0,22+0,5=0,72.
Misal 3. Bərbər salonunda 3 usta, gözləmə zalında 3 stul işləyir. Müştəri axını intensivliyə malikdir = Saatda 12 müştəri. Orta xidmət müddəti t xidmət = 20 dəq. Sistemin nisbi və mütləq ötürmə qabiliyyətini, tutulan oturacaqların orta sayını, növbənin orta uzunluğunu, müştərinin bərbərdə keçirdiyi orta vaxtı müəyyənləşdirin.
Bu vəzifə üçün n =3, m =3, =12, μ =3, ρ =4, ρ/n=4/3. İşdən çıxma ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
R
0
=
.
P
0
= 
0,012.
Xidmətdən imtina ehtimalı düsturla müəyyən edilir
P otk \u003d P n + m \u003d .
P açıq =P n + m 0,307.
Sistemin nisbi ötürmə qabiliyyəti, yəni. Xidmət ehtimalı:
P xidməti =1-P açın 1-0,307=0,693.
Mütləq bant genişliyi:
A= P xidməti 12 .
Məşğul olan kanalların orta sayı:
.
Orta növbə uzunluğu düsturla müəyyən edilir:
L
=
L= 
1,56.
Növbədə xidmət üçün orta gözləmə müddəti:
t= h.
CMO-da tətbiqlərin orta sayı:
M=L + .
Müraciətin CMO-da orta qalma müddəti:
T=M/ 0,36 saat
Misal 4. İşçi 4 maşına qulluq edir. Hər bir maşın intensivliklə uğursuz olur = Saatda 0,5 uğursuzluq, təmir üçün orta vaxt t rem\u003d 1 / μ \u003d 0,8 saat Sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edin.
Bu problem qapalı QS hesab edir, μ =1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Bir işçinin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
R
0
=
.
P
0
= 
.
İşçinin Məşğulluq Ehtimali R zan = 1-P 0 . A=( 1-P 0 )μ = saatda 0,85μ maşın.
Tapşırıq:
İki işçi dörd maşından ibarət bir qrupa xidmət edir. İşləyən maşının dayanması orta hesabla 30 dəqiqədən sonra baş verir. Orta quraşdırma vaxtı 15 dəqiqədir. Əməliyyat vaxtı və quraşdırma vaxtı eksponent olaraq paylanır.
Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payını və maşının işlədiyi orta vaxtı tapın.
Bir sistem üçün eyni xüsusiyyətləri tapın:
a) hər bir işçiyə iki maşın ayrılır;
b) iki işçi həmişə maşına birlikdə və ikiqat intensivliklə xidmət edir;
c) yeganə nasaz maşına hər iki işçi eyni anda xidmət göstərir (ikiqat intensivliklə) və ən azı daha bir nasaz maşın görünəndə, hər biri bir maşına xidmət edən ayrı-ayrılıqda işləməyə başlayırlar (əvvəlcə sistemi proseslər baxımından təsvir edin). ölüm və doğum).
Qərar:
S sisteminin aşağıdakı halları mümkündür:
S 0 - bütün maşınlar işləyir;
S 1 - 1 maşın təmir olunur, qalanları işlək vəziyyətdədir;
S 2 - 2 maşın təmirdədir, qalanları qaydasındadır;
S 3 - 3 maşın təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 4 - 4 maşın təmirdədir, qalanları qaydasındadır;
S 5 - (1, 2) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 6 - (1, 3) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 7 - (1, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 8 - (2, 3) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 9 - (2, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 10 - (3, 4) maşınlar təmir olunur, qalanları qaydasındadır;
S 11 - (1, 2, 3) maşınlar təmir olunur, 4 maşın işlək vəziyyətdədir;
S 12 - (1, 2, 4) maşınlar təmir olunur, 3 maşın işlək vəziyyətdədir;
S 13 - (1, 3, 4) maşınlar təmir olunur, 2 maşın işlək vəziyyətdədir;
S 14 - (2, 3, 4) maşınlar təmir olunur, 1 dəzgah işlək vəziyyətdədir;
S 15 - bütün maşınlar təmirlidir.
Sistem Dövlət Qrafiki...
Bu S sistemi qapalı sistemə misaldır, çünki hər bir maşın potensial tələbdir və pozulduğu anda real birinə çevrilir. Maşın işləyərkən gecikdirmə blokundadır və nasazlıq anından təmirin sonuna qədər sistemin özündədir. Hər bir işçi bir xidmət kanalıdır.
İşçi məşğuldursa, o zaman vahidinə μ-maşınları, sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edir:
Cavab:
Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payı ≈ 0,09 təşkil edir.
Maşının orta işləmə müddəti ≈ 3,64.
a) Hər bir işçiyə iki maşın verilir.
Bir işçinin işləməməsi ehtimalı düsturla müəyyən edilir:
İşçinin İş Ehtimalları:
İşçi məşğuldursa, o zaman vahidinə μ-maşınları, sistemin ötürmə qabiliyyətini təyin edir:
Cavab:
Hər bir işçi üçün boş vaxtın orta payı ≈ 0,62 təşkil edir.
Maşının orta vaxtı ≈ 1,52.
b) İki işçi həmişə maşına birlikdə və ikiqat intensivliklə xidmət edir.
c) Yeganə nasaz maşına hər iki işçi eyni anda xidmət göstərir (ikiqat intensivliklə) və ən azı bir daha nasaz maşın görünəndə, hər biri bir maşına xidmət edərək ayrı-ayrılıqda işləməyə başlayırlar (ilk növbədə, sistemi ölüm və doğuş prosesləri).
5 cavabın müqayisəsi:
Maşınlarda işçiləri təşkil etməyin ən təsirli yolu problemin ilkin versiyası olacaqdır.
Yuxarıda, ən sadə növbə sistemlərinin (QS) nümunələri nəzərdən keçirilmişdir. "Sadə" anlayışı "ibtidai" mənasını vermir. Bu sistemlərin riyazi modelləri tətbiq edilir və praktiki hesablamalarda uğurla istifadə olunur.
Növbə sistemlərində qərar nəzəriyyəsinin tətbiqi mümkünlüyü aşağıdakı amillərlə müəyyən edilir:
1. Sistemdəki tətbiqlərin sayı (bu QS hesab olunur) kifayət qədər böyük (kütləvi) olmalıdır.
2. QS girişinə daxil olan bütün proqramlar eyni tipdə olmalıdır.
3. Düsturlardan istifadə edərək hesablamalar üçün ərizələrin qəbulunu və onların işlənməsinin intensivliyini müəyyən edən qanunları bilmək lazımdır. Üstəlik, tətbiq axınları Poisson olmalıdır.
4. QS-nin strukturu, yəni. daxil olan tələblər toplusu və ərizəyə baxılma ardıcıllığı sərt şəkildə müəyyən edilməlidir.
5. Subyektləri sistemdən çıxarmaq və ya daimi emal intensivliyi olan tələblər kimi təsvir etmək lazımdır.
Yuxarıda sadalanan məhdudiyyətlərə riyazi modelin ölçüsünə və mürəkkəbliyinə güclü təsir göstərən daha birini əlavə etmək olar.
6. İstifadə olunan prioritetlərin sayı minimuma endirilməlidir. Tətbiq prioritetləri sabit olmalıdır, yəni. QS daxilində emal zamanı dəyişə bilməzlər.
İş zamanı əsas məqsədə nail olundu - akademik fənnin müəllimi tərəfindən qoyulmuş “Məhdud gözləmə vaxtı ilə QS” və “Qapalı QS” əsas materialı öyrənildi. Aldığımız biliklərin praktikada tətbiqi ilə də tanış olduq, yəni. əhatə olunan materialı birləşdirdi.
1) http://www.5ballov.ru.
2) http://www.studentport.ru.
3) http://vse5ki.ru.
4) http://inqilab..
5) Fomin G.P. Kommersiya fəaliyyətində riyazi üsullar və modellər. M: Maliyyə və statistika, 2001.
6) Gmurman V.E. Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika. M: Ali məktəb, 2001.
7) Sovetov B.A., Yakovlev S.A. Sistemlərin Modelləşdirilməsi. M: Ali məktəb, 1985.
8) Lifshits A.L. QS-nin statistik modelləşdirilməsi. M., 1978.
9) Wentzel E.S. Əməliyyat tədqiqatı. M: Nauka, 1980.
10) Wentzel E.S., Ovçarov L.A. Ehtimal nəzəriyyəsi və onun mühəndislik tətbiqləri. M: Nauka, 1988.
İndi gözlənti ilə tək kanallı QS-i nəzərdən keçirin.
Növbə sistemində bir kanal var. Xidmət axını üçün daxil olan sorğu axını λ intensivliyinə malikdir. Xidmət axınının intensivliyi μ-ə bərabərdir (yəni, orta hesabla, davamlı məşğul olan kanal μ xidmət edilən sorğular verəcəkdir). Xidmət müddəti eksponensial paylanma qanununa tabe olan təsadüfi dəyişəndir. Kanalın məşğul olduğu bir vaxtda gələn sorğu növbəyə qoyulur və xidməti gözləyir.
ilə bir sistemi nəzərdən keçirin məhdud növbə. Tutaq ki, xidmət sisteminin girişinə nə qədər müştəri daxil olursa olsun, bu sistem (növbə + xidmət göstərilən müştərilər) daha çox yerləşdirə bilməz. N-birinə xidmət göstərilən tələblər (ərizələr) və ( N-1) gözləmək, gözləməyə düşməyən Müştərilərə başqa yerdə xidmət göstərilməyə məcbur edilir və belə istəklər itirilir.
İşarə et - sistemin olması ehtimalı n tətbiqlər. Bu dəyər düsturla hesablanır:
Budur, azalmış axın sürəti. Sonra xidmət kanalının pulsuz olması və sistemdə heç bir müştərinin olmaması ehtimalı bərabərdir: 
.
Bunu nəzərə alaraq müəyyən etmək olar
Gözləmə və məhdud növbə uzunluğu (N-1) olan bir kanallı QS-nin xüsusiyyətlərini müəyyən edək:
ərizəyə xidmət göstərməkdən imtina ehtimalı:
nisbi sistem ötürmə qabiliyyəti:
mütləq bant genişliyi:
AMMA=q∙λ;
sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
Müraciətin sistemdə orta qalma müddəti:
;
müştərinin (müraciətin) növbədə qalmasının orta müddəti:
W q=Ws- 1/μ;
növbədəki ərizələrin (müştərilərin) orta sayı (növbənin uzunluğu):
L q=λ(1- P N)W q.
Gözləmə ilə tək kanallı QS nümunəsini nəzərdən keçirin.
Misal 9.2. Avtomobillər elektron növbə sistemindən istifadə etməklə buraxılış məntəqəsində gömrük nəzarəti zonasına daxil olurlar. Hər gəliş/gediş emal pəncərəsi tək kanallı QS-dir. Qeydiyyatı gözləyən avtomobillər üçün dayanacaqların sayı məhduddur və 3-ə bərabərdir, yəni ( N-1)=3. Əgər bütün dayanacaqlar zəbt edilibsə, yəni növbədə artıq üç avtomobil varsa, növbəti avtomobil gömrük nəzarəti zonasına buraxılmır, yəni. xidmət üçün növbəyə durmur. Təmizlənməyə gələn avtomobillərin axını intensivliyə malikdir λ =0,85 (saatda nəqliyyat vasitələri). Avtomobilin qeydiyyatı vaxtı eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır və orta hesabla = 1,05 saatdır. Stasionar rejimdə işləyən nəzarət-buraxılış məntəqəsinin gəliş/gediş emalı pəncərəsinin ehtimal xüsusiyyətlərini müəyyən etmək tələb olunur.
Qərar.
Avtomobil xidmətləri axınının intensivliyi:
.
Azaldılmış hərəkət intensivliyi λ və μ intensivliklərinin nisbəti kimi müəyyən edilir, yəni.
.
Tapma ehtimallarını hesablayaq P sistemdəki tətbiqlər:
;
P 1 =ρ∙ P 0 =0,893∙0,248=0,221;
P 2 =ρ 2 ∙ P 0 =0,893 2 ∙0,248=0,198;
P 3 =ρ 3 ∙ P 0 =0,893 3 ∙0,248=0,177;
P 4 =ρ 4 ∙ P 0 =0,893 4 ∙0,248=0,158.
Avtomobilə xidmət göstərməkdən imtina ehtimalı:
P açın=R 4 = ρ 4 ∙ P 0 ≈0,158.
Nisbi pəncərə bant genişliyi:
q=1–P açın=1-0,158=0,842.
Mütləq pəncərə bant genişliyi
AMMA=λ∙ q\u003d 0,85 0,842 \u003d 0,716 (saatda avtomobil).
Xidmətdə və növbədə olan avtomobillərin orta sayı (məsələn, növbə sistemində):
.
Avtomobilin sistemdə qalma müddəti:
saat.
Tətbiqin xidmət növbəsində qalma müddəti:
W q=Ws-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 saat.
Növbədəki tətbiqlərin orta sayı (növbənin uzunluğu):
L q =λ∙(1-P N)∙W q = 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.
Nəzərdən keçirilən dizayn pəncərəsinin işi qənaətbəxş hesab edilə bilər, çünki orta hesabla 15,8% hallarda xidmət göstərilmir ( R otk=0,158).
Sistem λ intensivliyi ilə tələblərin Puasson axını alır, xidmət axını μ intensivliyinə malikdir, növbədəki yerlərin maksimum sayı t.Əgər növbədəki bütün yerlər doldurulduqda sistemə iddia daxil olarsa, o, sistemi xidmətsiz qoyur.
Belə bir sistemin vəziyyətlərinin son ehtimalları həmişə mövcuddur, çünki vəziyyətlərin sayı məhduddur:
S 0 - sistem sərbəstdir və boşdur;
S 1 - bir sorğu verilir, kanal məşğuldur, növbə yoxdur;
S 2 - bir ərizə verilir, biri növbədədir;
S m +1 - bir ərizə verilir, t növbə.
Belə bir sistemin vəziyyət qrafiki Şəkil 5-də göstərilmişdir:
S 0 S 1 S 2 S m+1
μ μ μ ………. μ μ
Şəkil 5: Məhdud növbə ilə tək kanallı QS.
Formulunda R 0 həndəsi irəliləmənin sonlu sayda üzvlərinin cəmini tapın:
(52)
ρ formulunu nəzərə alaraq ifadəni alırıq:
Mötərizədə birinci üzvü 1 və məxrəci ρ olan həndəsi irəliləyişin (m+2) elementləri var. Proqresiyanın üzvlərinin cəminin (m + 2) düsturuna görə:
(54)
(55)
Limit vəziyyətlərinin ehtimalları üçün düsturlar belə görünəcək:
Xidmətdən imtina ehtimalı Sorğunu sorğunun sistemə daxil olduğu zaman onun kanalının tutulması və növbədəki bütün yerlərin də tutulması ehtimalı kimi müəyyən edirik:
(57)
Beləliklə, xidmət ehtimalı(həmçinin daşıyıcı bant genişliyi) əks hadisənin ehtimallarına bərabərdir:
Mütləq bant genişliyi sistem tərəfindən vaxt vahidinə xidmət edilən sorğuların sayıdır:
(59)
Xidmət üzrə sorğuların orta sayı:
(60)
(61)
Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı:
(62)
Mathcad-da məhdud növbə ilə bir kanallı QS hesab edilə bilər.
Misal:
Dayanacaq 0,5 axın sürəti və orta xidmət müddəti 2,5 dəqiqə olan 3 avtomobilə xidmət göstərir. Sistemin bütün göstəricilərini müəyyənləşdirin.
6 Limitsiz növbə ilə çox kanallı smoo
Sahib olan bir S sistemi verilsin Pλ intensivliyi ilə ən sadə sorğu axını qəbul edən xidmət kanalları. Xidmət axını da ən sadə olsun və intensivliyi μ olsun. Xidmət növbəsi məhdud deyil.
Sistemdəki tətbiqlərin sayına görə sistemin vəziyyətlərini işarə edirik: S 0 , S 1 , S 2 ,…, S k ,… S n , burada S k – sistemdə k sorğu olduqda sistemin vəziyyəti (xidmət altında olan sorğuların maksimum sayı n-dir). Belə bir sistemin vəziyyət qrafiki Şəkil 6-da diaqram kimi təsvir edilmişdir:
λ λ λ λ λ λ λ
……. …….
S 0 S 1 S 2 S m+1 S n
μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ
Şəkil 6: Limitsiz növbə ilə çoxkanallı QS.
Xidmətlər axınının intensivliyi sistemin vəziyyətindən asılı olaraq dəyişir: kμ dövlətdən keçid zamanı S k dövlətə S k -1 ildən k hər hansı kanallar; bütün kanallar xidmətlə məşğul olduqdan sonra xidmət axınının intensivliyi bərabər olaraq qalır. pμ, sistemə aşağıdakı müraciətlər daxil olduqdan sonra.
Vəziyyətlərin son ehtimallarını tapmaq üçün bir kanallı sistem üçün necə edildiyinə bənzər düsturlar əldə edirik.
(63)
Beləliklə, son ehtimallar üçün düsturlar ifadə ilə ifadə edilir
Tapmaq üçün R 0 tənliyi alırıq:
(n + 2)-dən başlayaraq mötərizədəki şərtlər üçün birinci həddlə sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edə bilərsiniz. 
və məxrəc ρ/n:
(66)
Nəhayət, sistemin işləməməsi ehtimalını tapmaq üçün Erlanq düsturunu alırıq:
(67)
Sistemin səmərəliliyinin əsas göstəricilərinin hesablanması üçün düsturlar verək.
Sistem əgər tələb axınının öhdəsindən gələcək
vəziyyət
,
(68)
bu o deməkdir ki, zaman vahidi üçün sistem tərəfindən alınan iddiaların sayı eyni vaxt ərzində sistemin xidmət göstərdiyi iddiaların sayından çox deyil. Harada xidmətdən imtina ehtimalı sıfıra bərabərdir.
Buradan xidmət ehtimalı(eləcə də nisbi ötürmə qabiliyyəti sistemlər) əks hadisənin ehtimallarına, yəni birliyə bərabərdir:
(69)
Mütləqötürmə qabiliyyəti- vaxt vahidi üçün sistemin xidmət etdiyi proqramların sayı:
(70)
Sistem tətbiq axınının öhdəsindən gəlirsə, o zaman stasionar rejimdə çıxış intensivliyi sistemə daxil olan sorğu axınının intensivliyinə bərabərdir, çünki bütün sorğulara xidmət göstərilir:
ν=λ . (71)
Hər bir kanal vaxt vahidi başına μ sorğularına xidmət etdiyi üçün orta məşğul kanallar hesablamaq olar:
(72)
Ortavaxtxidmət bir tətbiq kanalı ;
.
(73)
Sistemə daxil olduqdan sonra sifarişin növbəyə düşməsi ehtimalı ondan çox olma ehtimalına bərabərdir. P tətbiqlər:
(74)
Xidmətdə olan müraciətlərin sayı, məşğul kanalların sayına bərabərdir:
(75)
Növbədə olan müraciətlərin orta sayı:
(76)
Sonra ortanömrətətbiqlərsistemdə:
(77)
Müraciətin sistemdə orta qalma müddəti (növbədə):
(78)
(79)
Mathcad sistemində qeyri-məhdud növbə ilə çoxkanallı QS hesab edilə bilər.
Misal 1:
Bərbər salonunda 5 usta var. Pik saatlarda müştəri axınının intensivliyi 6 nəfərdir. Saat birdə. Bir müştərinin xidməti orta hesabla 40 dəqiqə çəkir. Qeyri-məhdud olduğunu nəzərə alaraq növbənin orta uzunluğunu müəyyənləşdirin.
Mathcad-da məsələnin həlli fraqmenti.
Misal 2:
Dəmir yolu kassasının 2 pəncərəsi var. Bir sərnişinə xidmət müddəti 0,5 dəqiqədir. Sərnişinlər 3-cü qrup halında kassaya yaxınlaşırlar. Sistemin bütün xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin.
Mathcad-da məsələnin həlli fraqmenti.
Məsələnin həllinin Mathcad-da davamı.
- kanalın uğursuzluğu ehtimalı, sərbəst kanal ehtimalı, mütləq ötürmə qabiliyyəti;
- nisbi ötürmə qabiliyyəti, orta xidmət müddəti, orta kanalın boş qalma müddəti.
Təlimat. Bu cür problemləri onlayn həll etmək üçün QS modelini seçin. Müəyyən edin tətbiq axınının intensivliyi λ və xidmət axınının intensivliyi μ. Məhdud növbə uzunluğuna malik tək kanallı QS üçün siz təyin edə bilərsiniz növbə uzunluğu m, və qeyri-məhdud növbəli bir kanallı QS üçün - növbədəki sorğuların sayı (növbədə bu sorğuların tapılma ehtimalını hesablamaq üçün). həll nümunəsinə baxın. . Nəticədə həll Word faylında saxlanılır.
Təkkanallı növbə sistemlərinin təsnifatı
Nümunə №1. Avto yanacaqdoldurma məntəqəsi var bir qaz doldurma məntəqəsi. Ehtimal olunur ki, ən sadə avtomobil axını λ=11 vaqon/saat intensivliyi ilə stansiyaya gəlir. Tətbiq xidmətinin vaxtı μ=14 avtomobil/saat parametri ilə eksponensial qanuna tabe olan təsadüfi dəyişəndir. Stansiyadakı avtomobillərin orta sayını müəyyən edin.
Nümunə №2. Bir yoxlama qrupu olan maşınların profilaktik yoxlanması üçün bir nöqtə var. Hər bir maşın üçün qüsurları yoxlamaq və müəyyən etmək üçün orta hesabla 0,4 saat vaxt lazımdır. Hər gün orta hesabla 328 avtomobil müayinəyə qəbul edilir. Sorğu və xidmətlərin axınları ən sadədir. Baxış məntəqəsinə gələn avtomobil heç bir kanalı boş tapmazsa, baxış məntəqəsini xidmətsiz qoyur. Dövlətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını və profilaktik yoxlama məntəqəsinin saxlanmasının xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin.
Qərar. Burada α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4-dür. Bu məlumatlar kalkulyatora daxil edilməlidir.