Obiecte de control dinamic de mari dimensiuni. Controlul optim al sistemelor dinamice continue

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT DE ÎNVĂȚĂMUL PROFESIONAL SUPERIOR „UNIVERSITATEA AEROSPAȚIALĂ DE STAT SAMARA numită după Academicianul S.P.KOROLEV”

Y. Zabolotnov

CONTROL OPTIM AL SISTEMELOR DINAMICE CONTINUE

Aprobat de Consiliul Editorial și Editural al Universității ca ghid de studiu

SAMARA 2005

UDC 519.9+534.1

Recenzători: S.A. Ișkov, L.V. Kudiurov

Zabolotnov Yu.

Controlul optim al sistemelor dinamice continue: manual. indemnizatie / Y. Zabolotnov; Samar. stat aerospațială un-t. Samara, 2005. 149 p. : bolnav.

Manualul include o descriere a metodelor de control optim al sistemelor dinamice. O atenție deosebită este acordată soluționării optime a problemei de stabilizare pentru sistemele dinamice liniare. Odată cu prezentarea metodelor clasice de control optim al sistemelor liniare, bazate în principal pe principiul de programare dinamică Bellman, se are în vedere controlul optim aproximativ al sistemelor dinamice oscilatorii folosind metoda medierii.

Materialul manualului este inclus în cursul prelegerilor " Baza teoretica control automatizat”, citit de autor pentru studenții specialității 230102 - sisteme automatizate prelucrarea și managementul informațiilor la Departamentele de Sisteme și Tehnologii Informaționale, Matematică și Mecanică, SSAU. Cu toate acestea, manualul poate fi util pentru studenții altor specialități atunci când studiază teoria controlului optim al sistemelor dinamice.

CUVÂNT ÎNAINTE ……………………………………………………. 5

1. PRINCIPALE PREVEDERI TEORETICE ALE CONTROLULUI OPTIM AL SISTEMELOR DINAMICE …………………………….…………………………….. 8

1.1. Enunțarea problemei controlului optim al sistemelor dinamice …………………………….…...8

1.2. Control optim software și problemă

stabilizare ………………………………………………………. unsprezece

1.3. Mișcarea neperturbată și perturbată a unui sistem dinamic ……………………………………………….………….. 12

1.4. Enunțarea problemei stabilizării optime a mișcării pentru un sistem dinamic liniar………………………………..… 14

2. CONTROL ŞI OBSERVABILITATE

SISTEME DINAMICE ……………………………………………….….16

2.1. Transformări similare ale sistemelor dinamice liniare.16

2.2. Controlabilitatea sistemelor dinamice……………….18

2.3. Observabilitatea sistemelor dinamice ……………………….21

3. PRINCIPIUL PROGRAMĂRII DINAMICĂ BELLMAN ȘI TEORIA STABILITĂȚII LIAPUNOV …….24

3.1. Principiul de programare dinamică Bellman …….24

3.2. Controlul optim al sistemelor dinamice liniare …………………………………………………………..………… 29

3.3. Teoria stabilității lui Lyapunov …………………………………31

3.4. Legătura dintre metoda de programare dinamică cu teoria stabilității lui Lyapunov ……………………………………… ... 37

4. DETERMINAREA CONTROLULUI OPTIM PENTRU SISTEME DINAMICE LINEARE ………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………39

4.1. Rezolvarea ecuației Bellman pentru sisteme dinamice liniare staționare..……………………………………………… 39

4.2. Rezolvarea ecuației Bellman pentru sisteme dinamice liniare nestaționare..………………………………………………… 41

4.3. Despre alegerea criteriului de optimitate în rezolvarea problemei stabilizării …………………………………………………………………….43

4.4. Un exemplu de alegere optimă a coeficienților controlerului

la controlul unui sistem liniar de ordinul doi...……….. 47

5. SISTEME OSCILATORIE DINAMICE………….56

5.1. Mici oscilații ale sistemelor.dinamice………….…56

5.2. Controlabilitatea și observabilitatea sistemelor dinamice liniare oscilatorii ………………………………………………………………. 65

5.3. Metoda parametrilor mici……………………………………………….. 68

5.4. Metoda de mediere…………………………………………….… 72

5.5. Metoda de mediere pentru un sistem cu un grad de libertate.. 76

5.6. Metoda de mediere pentru sisteme cu mai multe rapide

faze ……………………………………………………………………. 79

5.7. Metoda de mediere pentru un sistem cu două puteri

libertate ………………………………………………………..…… 86

6. CONTROLUL APROXIMAD OPTIM AL SISTEMELOR OSCILATORII DINAMICE.... 93

6.1. Controlul unui sistem oscilator liniar cu un grad de libertate ……………………………………………………………….… 93

6.2. Controlul unui sistem oscilator liniar cu două grade de libertate..…………………………………………………………. 106

6.3. Influența perturbațiilor neliniare asupra soluționării problemei de control optim …………//………………………………………… 115

LISTA SURSELOR UTILIZATE …..…………127

ANEXA 1. Transformări similare ale sistemelor dinamice liniare ……………………………………………..…129

ANEXA 2. Studiu calitativ al sistemelor dinamice liniare pe planul de fază …………………… 134

ANEXA 3. Diferențierea funcțiilor cu un argument vectorial …………………………………………………………... 142

ANEXA 4. Concepte de bază ale teoriei seriilor asimptotice …………………………………………………………………………………. 143

ANEXA 5. Medierea trigonometrică

funcții ………………………………………..…………………………….. 148

CUVÂNT ÎNAINTE

În mod tradițional, în teoria clasică a controlului sunt luate în considerare două probleme principale: problema determinării mișcării programului unui sistem dinamic și problema proiectării controlerelor care implementează mișcarea programului dat a obiectului de control (problema de stabilizare). Accentul manualului este pe rezolvarea problemei de stabilizare, care este de obicei rezolvată folosind modele dinamice liniare. În comparație cu sistemele statice, în sistemele dinamice procesul se dezvoltă în timp, iar controlul în cazul general este și el în funcție de timp.

La rezolvarea problemei de stabilizare se pot folosi diverse metode. Aici, în primul rând, ar trebui să remarcăm metodele clasice ale teoriei control automat, bazat pe aparatul de funcții de transfer și caracteristici de frecvență. Cu toate acestea, apariția computerelor de mare viteză a condus la dezvoltarea de noi metode care stau la baza teoria modernă management. În teoria modernă a controlului, comportamentul sistemului este descris în spațiul stărilor, iar controlul sistemului se reduce la determinarea acțiunilor optime, într-un anumit sens, de control asupra sistemului în fiecare moment de timp. Mai mult, modelele matematice ale sistemelor dinamice continue sunt de obicei sisteme de ecuații diferențiale obișnuite, în care variabila independentă este timpul.

La rezolvarea problemei de stabilizare, optimitatea controlului se intelege in sensul minimului unui anumit criteriu de optimitate (functional), care se scrie ca o integrala definita. Criteriul de optimitate poate caracteriza diverse aspecte ale calității controlului: costuri de control (energie, combustibil, etc.), erori de control (pentru diverse variabile de stare), etc. Pentru a determina controlul optim în rezolvarea problemei de stabilizare se utilizează principiul clasic de programare dinamică Bellman.

Prima secțiune a manualului este introductivă: conține o enunțare matematică a problemelor de rezolvat în controlul sistemelor dinamice continue. A doua secțiune este dedicată întrebărilor care preced construirea controlului optim pentru sistemele liniare: întrebări de controlabilitate și observabilitate. În a treia secțiune sunt derivate principalele relații ale principiului de programare dinamică Bellman, din care se determină în continuare controlul optim pentru un sistem dinamic liniar la rezolvarea problemei de stabilizare. În aceeași secțiune, se arată că principiul de programare dinamică Bellman pentru sisteme liniare este legat organic de cea de-a doua metodă Lyapunov, a cărei îndeplinire a teoremelor oferă o soluție la problema de stabilizare. A patra secțiune a manualului descrie algoritmi pentru determinarea controlului optim la rezolvarea problemei de stabilizare pentru un anumit criteriu de optimitate pătratică (integrandul funcționalului este o formă pătratică a variabilelor de control și stare a sistemului). Este dat un exemplu de determinare a controlului optim cu un criteriu de optimitate dat pentru un sistem liniar specific. Secțiunea a cincea conturează bazele teoriei sistemelor oscilatorii dinamice. Sunt derivate relațiile de bază ale principiului medierii, ceea ce face posibilă în multe cazuri simplificarea semnificativă a analizei și sintezei sistemelor oscilatorii. În secțiunea a șasea, avem în vedere o metodă de determinare a unui control aproximativ optim pentru problema stabilizării prin sisteme oscilatorii. Sunt date exemple de control al sistemelor oscilatoare cu unul și două grade de libertate. Sunt analizate întrebări privind influența posibilă a perturbațiilor neliniare asupra soluționării problemelor de stabilizare pentru sistemele oscilatoare.

Metodele prezentate în manual permit găsirea controlului optim pentru rezolvarea problemelor de stabilizare a sistemelor dinamice sub formă de funcții analitice în funcție de variabilele de stare ale sistemului. În acest caz, spunem că problema sintezei controlului este în curs de rezolvare. Aceste metode pot fi atribuite teoriei proiectării analitice a controlerelor, care este una dintre direcțiile importante în dezvoltarea teoriei moderne de control.

Materialul manualului se bazează pe lucrări din domeniul teoriei controlului, devenite clasice în timp. Aici, în primul rând, este necesar să remarcăm lucrările lui Pontryagin L.S. , Letova A.M. , Demidovich B.P. , Gropa D. , Bellman R. , Moiseeva N.N., Bogolyubova N.N., Mitropolsky Yu.A. și alți oameni de știință renumiți interni și străini.

1. PRINCIPALE PROPOZIȚII TEORETICE DE CONTROL OPTIM AL SISTEMELOR DINAMICE

1.1. Enunțarea problemei controlului optim al sistemelor dinamice

Modelele matematice ale sistemelor dinamice pot fi construite sub diferite forme. Acestea pot fi sisteme de ecuații diferențiale obișnuite, ecuații diferențiale parțiale, modele discrete corespunzătoare etc. Trăsătură distinctivă descrierea matematică a oricărui sistem dinamic este că comportamentul acestuia se dezvoltă în timp și este caracterizat de funcții ,... , care sunt numite variabile de stare (coordonatele de fază) ale sistemului. În cele ce urmează, vom lua în considerare sistemele cu timp continuu. Mișcarea unui sistem dinamic poate fi controlată sau necontrolată. La implementarea mișcării controlate, comportamentul sistemului dinamic depinde și de funcțiile de control,… . De asemenea, presupunem că comportamentul sistemului este determinat în mod unic dacă sunt date funcția vectorului de control și starea inițială a fazei, unde este timpul inițial.

La fel de model matematic sistem dinamic, vom considera un sistem de ecuații diferențiale obișnuite scrise în forma normală Cauchy

unde , , este o funcție vectorială cunoscută.

Sistemul (1.1) este cel mai des folosit pentru diverse modele matematice ale sistemelor dinamice cu timp continuu. Deci, de exemplu, dacă comportamentul unui sistem dinamic este descris de un sistem de ecuații cu diferențe parțiale și are loc în spațiu și timp (modele matematice ale mecanicii continuumului), atunci, discretizând în spațiu (abordare cu elemente finite), ajungem la o sistem de ecuații diferențiale obișnuite similare cu (1.1), a căror soluție se caută în funcție de timp.

Ipoteza introdusă anterior despre unicitatea procesului de control pentru sistemul (1.1) este determinată de îndeplinirea condițiilor teoremei privind existența și unicitatea soluțiilor sistemelor de ecuații diferențiale ordinare în forma Cauchy.

Să formulăm problema controlului optim al sistemului (1.1) . La momentul inițial, sistemul (1.1) se află în starea , este necesar să se determine un astfel de control care să transfere sistemul într-o stare finală dată (diferită de cea inițială), unde este timpul final. De obicei, se cere ca tranziția de la punct la punct (tranzitorie) să fie într-un anumit sens cea mai bună dintre toate tranzițiile posibile. De exemplu, dacă se ia în considerare un sistem tehnic, atunci procesul tranzitoriu trebuie să satisfacă condiția energiei minime consumate sau condiția timpului minim de tranziție. Acest cel mai bun proces tranzitoriu se numește procesul optim.

Funcția de control aparține de obicei unui domeniu de control, care este un set de spațiu euclidian -dimensional. În aplicațiile tehnice, se presupune că regiunea este o regiune închisă, adică o regiune care include limitele sale. Un control admisibil este orice control care duce sistemul de la un punct la altul. Pentru o comparație cantitativă a diferitelor controale admisibile, se introduce un criteriu de optimitate, care, de regulă, este prezentat sub forma unui anumit funcțional

Funcționala se calculează pe soluții ale sistemului (1.1) care îndeplinesc condițiile și , pentru un control admisibil dat .

În final, problema de control optim se formulează astfel: două puncte și sunt date în spațiul fazelor; dintre toate comenzile admisibile care mută punctul de fază din poziție în poziție , găsiți cel pentru care funcțional (1.2) ia cea mai mică valoare.

Controlul care dă soluția problemei prezentate mai sus se numește control optim și se notează cu , iar traiectoria corespunzătoare se numește traiectorie optimă.

Cometariu. Dacă este necesar să se asigure maximul unui criteriu, atunci această problemă poate fi redusă la problema găsirii unui minim prin schimbarea formală a semnului în fața funcționalului (1.2).

Un caz particular al problemei formulate a controlului optim este cazul când . Atunci functionala (1.2) ia forma si optimitatea consta in implementarea timpului minim de tranzitie de la punct la punct. O astfel de problemă de control optim se numește problemă optimă de timp.

1.2. Software-ul de control optim și problemă de stabilizare

Se consideră mișcarea sistemului dinamic (1.1). Să se găsească controlul optim pentru acest sistem și să se obțină traiectoria optimă corespunzătoare. La implementarea traiectoriei optime în sarcini tehnice inevitabil întâmpină dificultăți semnificative, constând în imposibilitatea, în primul rând, de a seta cu precizie sistemul real (sau obiectul de control) la starea inițială, în al doilea rând, de a implementa cu exactitate controlul optim în sine, în al treilea rând, de a prezice cu precizie în avans condițiile externe pentru funcţionarea sistemului (aproximarea modelului matematic iniţial). Toate acestea conduc la necesitatea de a rezolva problema corectării legii controlului optim în procesul de funcționare a oricărui sistem tehnic(sau obiect). Astfel, problema controlului optim în condiții reale poate fi împărțită în două părți: 1) construirea controlului optim nominal al sistemului dinamic original în condiții ideale în cadrul modelului matematic (1.1); 2) construirea unor acţiuni de control corectiv în vederea implementării unui anumit control nominal optim şi a unei traiectorii optime în procesul de funcţionare a sistemului. Prima parte a problemei de control optim se numește de obicei problema construirii unui control optim al programului și este rezolvată în cadrul unor informații a priori cunoscute în prealabil despre sistemul luat în considerare. A doua parte a problemei se numește sarcina de stabilizare a unui program de control nominal dat și trebuie rezolvată în timpul funcționării sistemului conform informațiilor primite de la dispozitivele de măsurare ale sistemului de control. Problema stabilizării programului de control nominal poate fi pusă și ca problema găsirii controlului optim după criteriul corespunzător, care se va face mai jos (vezi Secțiunea 1.4).

Cometariu. Evident, nu doar controlul optim poate fi folosit ca program de control nominal, ci și orice alt control admisibil (dacă problema optimizării controlului programului nu este rezolvată). În cel mai simplu caz particular, de exemplu, se poate pune problema stabilizării unei poziții constante a sistemului.

1.3. Mișcarea neperturbată și perturbată a unui sistem dinamic

Deoarece mișcarea reală a sistemului diferă inevitabil de cea nominală a programului, acest fapt a condus la conceptul de mișcări neperturbate și perturbate a lui Lyapunov A.A. . Astfel, orice mișcare program a sistemului (1.1), indiferent dacă este optimă sau admisibilă, se numește mișcare neperturbată. În plus, această mișcare corespunde unei anumite soluții a sistemului (1.1). Mișcarea perturbată este estimată în acest caz prin unele abateri de la mișcarea neperturbată. Prin urmare, mișcarea perturbată va fi descrisă de următoarele variabile

unde variabilele și caracterizează programul de control nominal, iar variabilele și - abaterile de la programul nominal.

Înlocuind relațiile (1.3) în sistemul (1.1), obținem

Adunarea și scăderea aceluiași termen din partea dreaptă a sistemului (1.4) și luând în considerare faptul că

obţinem sistemul în abateri de la mişcarea nominală

unde , , și sunt determinate ca rezultat al rezolvării sistemului (1.5).

De obicei se presupune că abaterile de la mișcarea nominală sunt mici. Prin urmare, dacă extindem funcția într-o serie Taylor și introducem notația , , unde indicele (o) înseamnă că derivatele parțiale sunt determinate pentru un program nominal dat, atunci obținem

Aici, funcția determină termenii de ordinul doi și mai mari în ceea ce privește abaterile; matrice și selectați partea liniară a seriei și au componente și ; .

Ecuațiile scrise în abaterile (1.7) sunt de mare importanță în teoria controlului. Pe baza acestor ecuații se formulează un număr mare de probleme de optimizare de interes practic. Una dintre aceste probleme este problema de stabilizare formulată mai sus. La rezolvarea acestei probleme este necesar să se determine cum trebuie alese acțiunile corective de control pentru a reduce abaterile într-un anumit sens în cel mai bun mod posibil.

1.4. Enunțarea problemei stabilizării optime a mișcării pentru un sistem dinamic liniar

Cel mai adesea, la rezolvarea problemei de stabilizare a mișcării unui sistem sau a unui obiect de control, se folosește un sistem dinamic liniar în abateri, care se obține din sistemul (1.7) prin eliminarea termenilor neliniari. Apoi

unde matricele și în cazul general sunt funcții de timp, deoarece depind de programul de control nominal . , de altfel, se spune că se rezolvă problema sintezei controlului. După înlocuirea legii. Luați în considerare cazul în care matricea nu are mai multe valori proprii (identice). În acest caz, o astfel de transformare reduce matricea la o formă diagonală, unde este o matrice diagonală, pe a cărei diagonală principală se află valorile proprii ale matricei (dovada este dată în Anexa 1).

Sarcină observatie dinamica, care a fost inițial numit sarcina observatie asimptotica, în forma curenta formulată de omul de știință american D. Luenberger în 1971. Termenii „observare dinamică” sau „observare asimptotică” nu reflectă în totalitate esența problemei, care constă în rezolvarea problemei recuperare vector de stare al unui obiect dinamic (proces) într-un mediu dinamic special creat bazat informatiile disponibile. De menționat că informațiile disponibile pot fi prezentate sub două forme: în formular rezultatele măsurătorilor directeși model formă mediu dinamic generând impact exogen.

Nu este întotdeauna posibil să se asigure caracterul asimptotic al procesului de observare din cauza măsurabilității incomplete a variabilelor și efectelor, a prezenței interferențelor necontrolate, a factorilor de model și semnal necontabilizați etc. În acest sens, pare cel mai corect să folosim conceptul de „ observator dinamic„(DNU), este posibilă și apariția vulgarismului terminologic” observator».

Inițial, principala zonă de utilizare a DNU a fost sisteme dinamice, care includ generatoare de semnale de control care folosesc informații sub formă de direct și feedback în funcţie de starea obiectului sau sursă finite-dimensionale influență exogenă.În prezent, domeniul de aplicare al DNU s-a extins semnificativ datorită unei noi generații complexe de măsurare care decid sarcina de a forma rezultatul măsurătorii în mediul algoritmic DNU. Următoarele sunt întrebări legate de utilizare DNU în compozițiemodelatoare semnale de control.

În secțiunile anterioare, algoritmi pentru generarea semnalelor de control bazate pe un singur conceptul de similaritate de sistem, care a fost realizat într-un caz în metoda de control modal obiect dinamic, într-o altă metodă izodromic generalizat management. Înainte de a rezolva problemele de observare dinamică în cadrul fiecăreia dintre aceste metode de control, vom oferi o definiție la nivelul întregului sistem a unui dispozitiv de observare dinamică.

În setarea la nivel de sistem, cea mai mare cantitate de informații despre cursul proceselor controlate (obiecte dinamice) este conținută în vectorul de stare, care se caracterizează prin cea mai mare dimensiune în comparație cu alte variabile de proces. Dar starea este o variabilă ascunsă (internă) care poartă informații complete despre „secretul” sistemului al procesului; nu ar trebui să fie disponibilă pentru măsurarea directă în întregime. Variabilele externe sunt vectorul Ieșire, vector semnal de control, vector de eroare redarea masterului impact exogen, uneori de la sine impact. Mediul informațional poate fi completat model sursă impact exogen (MIEV).

Acum este posibil să oferim o definiție a unui dispozitiv de observare dinamică (DNU).

Definiția 16.1 (O16.1). Dispozitivul de monitorizare dinamică este mediu tehnic sau algoritmic, care implementează un afișaj funcțional al tuturor componentelor disponibile pentru măsurare directă
influența stăpână
, componente
vector de eroare
, semnal de control
, componente
vector de ieșire
, și eventual componente
vector de stare
a vector
estimări ale vectorului de stare, care are o proprietate asimptotică, care este reprezentată prin notație

Unde
este o matrice în cazul general al unei transformări speciale (ireversibile).

În majoritatea cazurilor practice, problema observării dinamice se rezolvă pe perechi, iar în cazurile în care problema se reduce la o versiune autonomă a sistemului dinamic, apoi pe vectorii de ieșire.
sau greșeli
.

Nota 16.1 (AP 16.1). Mai jos sunt problemele de sinteză controale dinamice modale și dinamice generalizate izodromice, care se rezolvă pe bază de agregare a dispozitivelor de observare dinamică și a dispozitivelor de generare a semnalelor de control, obținute pe baza ipotezei măsurabilității complete a vectorului de stare al obiectului. În acest sens, controlul modal și controlul izodromic generalizat, formate în acest mod (adică, prin metodele descrise în secțiunea 15), spre deosebire de dinamic vom suna algebric modal şi algebric controale izodromice generalizate.

Luați în considerare cazul controlului modal. Să stabilim sarcina formarea unui dispozitiv de observare care vă permite să restabiliți vectorul
stări ale unui obiect dinamic continuu având o descriere vectorială-matrice

Înainte de a trece la rezolvarea problemei formării unui dispozitiv de observare dinamică, luăm în considerare unul " ipotetic" situatie. Pentru a face acest lucru, să presupunem că , atunci pentru pe deplin măsurabil vector
vector
stări ale obiectului (16.2) cu deplina ei incomensurabilitate poate fi restabilită datorită relației

(16.3)

Este ușor de văzut că un astfel de dispozitiv de observare ar trebui apelat "static" deoarece are dinamica zero.

Pe baza situației considerate „ipotetice”, putem formula următoarea afirmație fără dovezi.

Afirmația 16.1 (U16.1). Pentru functionare corecta dispozitiv de observare dinamică, în care toate componente vectoriale
starea unui obiect care
, este necesar să se îndeplinească condiția

Unde
vectorul de stare al observatorului dinamic.

Nota 16.2 (AP 16.2). Situația în care inegalitatea este satisfăcută este utilizată în cazul în care procesul de măsurare a vectorului
obiect dinamic este însoțit de interferențe vizibile astfel încât sarcina de recuperare vector de stare obiect cu simultan filtrare măsurători.

Să revenim la relația (16.1) pentru a analiza sarcina sistemului impusă matricei de similaritate
dimensiuni
. Dimensiunea și forma acestei matrice reflectă pe deplin întreaga varietate de opțiuni pentru construirea dispozitivelor de observare dinamică, după cum urmează:

- dacă
la
si in care
dimensiune deplină si in bază observabil dinamic obiect;

- dacă
la
si in care
, atunci se construiește observatorul dinamic dimensiune deplinăîn bază care nu se potrivește cu baza dinamică observată obiect, cel mai adesea este ceva bază canonică;

- dacă
la
, atunci se construiește observatorul dinamic dimensiune incompletăîn mod arbitrar, cel mai adesea este ceva bază canonică; în acest caz, pentru a restabili toate componentele vectorului de stare obiect, se utilizează o compoziție din măsurarea vectorului de ieșire și a vectorului de stare LLD, precum și o matrice compusă din matrice
.

Observatori dinamici de dimensiune completă pe baza obiectului original construită pe baza următoarelor considerente de sistem cuprinse în următoarea afirmație.

Declarația 16.2 (U16.2). Supervizor dinamic vector
starea unui obiect de control continuu (16.2), care implementeaza algoritm de observare, scris sub formă de vector-matrice

Unde
vector de stare DNU,
, se caracterizează prin procesul de convergenţă a estimării
la vectorul estimat
starea obiectului (16.2), determinată de spectrul algebric al valorilor proprii ale matricei

. □(16.6)

Dovada. Pentru a demonstra validitatea afirmației formulate, introducem vectorul
reziduuri de observare, care pentru cazul general al problemei de observatie are reprezentarea

, (16.7)

iar pentru cazul în cauză, datorită egalității
ia forma

. (16.8)

Este ușor de observat că procesul de convergență
la vectorul estimat
în forma (16.1) folosind vectorul
reziduurile de observație iau forma

. (16.9)

Să construim un model al dinamicii convergenței procesului de observație folosind vectorul rezidual de observație (16.8).

ce este scris sub forma

de unde pentru vector
se pot scrie reziduuri de observatie

Nota 16.3 (AP 16.3). Dacă stările inițiale ale obiectului de control (16.2) și LLD (16.5), atunci din cauza (16.11) discrepanța de observație
și vector observabil
si evaluarea acesteia
coincid identic, adică relația

Introducem definitia control modal dinamic.

Definiția 16.2 (O16.2).dinamic controlul modal vom numi controlul formei (15.48), în care feedback-ul negativ asupra vectorului
starea obiectului de control este înlocuită cu feedback asupra vectorului
estimări vectoriale
, format in functie de implementarea matricei
datorita rapoartelor:

1. la

(16.12)

2. la (16.13)

3. la (16.14)

Să construim acum un algoritm pentru sinteza controlului modal dinamic pentru cazul formării unei estimări
vector
starea unui obiect de forma (16.12) format în mediul DNU (16.5).

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI

FEDERAȚIA RUSĂ

UNIVERSITATEA DE STAT MOSCOVA

FACULTATEA DE FIZICĂ

Departamentul de Metode Fizice și Matematice de Control

SARCINI

pe cursuri

„Controlul optim al sistemelor dinamice liniare”

la cursul „Control optim”

Alcătuit de: prof., d.t.s. Afanasiev V.N.

Moscova 2014

SCOPUL LUCRĂRII

Proiectarea matematică a sistemelor de control liniar optim.

CONȚINUTUL LUCRĂRII
1. Studierea materialului teoretic necesar în funcție de surse;
2. Obținerea unei soluții analitice a problemei;
3. Întocmirea unei scheme bloc a sistemului de control.
4. Dobândirea de competențe în modelarea matematică a sistemului de control folosind pachetul matlab.

TIMP DE LUCRU

Semestrul VIII, anul IV.

Temele sunt emise în a 5-a săptămână academică.

Recepția lucrărilor finalizate se efectuează la 10 și 11 săptămâni.

PREVEDERI TEORETICE DE BAZĂ.

FORMULAREA PROBLEMEI

Multe obiecte de control pot fi descrise cu acuratețe prin modele dinamice liniare. Printr-o alegere rezonabilă a criteriilor de performanță pătratică și a constrângerilor pătratice, în acest caz, este posibil să se sintetizeze dispozitive de control de mare succes cu feedback liniar.

Fie sisteme dinamice controlate descrise prin ecuații diferențiale liniare

(1)

aici: - starea sistemului; - intrarea de control a sistemului; - Ieșire sistem. Deci matricele A(t), B(t), C(t) au dimensiunile corespunzătoare: n x n , n x r , m x n . Să presupunem că nici asupra controlului nu sunt impuse restricții.

Să definim scopul sistemului din punct de vedere fizic. Fie ieșirea „dorită” a sistemului. Este necesar să găsiți un astfel de control u(t) , la care eroarea de sistem

(2)

ar fi mic.

De la conducere u(t) nu este limitată în problema luată în considerare, atunci pentru a evita eforturi mari în bucla de control și consumul mare de energie, este posibil să se introducă o cerință adecvată în criteriul de calitate care să ia în considerare aceste fapte.

De multe ori este important să faceți o eroare „mică” la sfârșitul tranzitoriului.

Traducerea acestor cerințe fizice în forma uneia sau alteia funcționale matematice depinde de multe motive. Acest capitol va lua în considerare o anumită clasă de criterii de calitate care au următoarea vedere:

(3)

unde F, Q(t) sunt matrici de dimensiune pozitive semidefinite m x m ; R(t) este o matrice de dimensiune pozitiv-definită r x r .

Luați în considerare fiecare termen al funcționalului (3). Sa incepem cu. Evident, din moment ce matricea Q(t) este semidefinit pozitiv, atunci acest termen este nenegativ pentru oricare e(t) și este egal cu zero la e (t)=0. Deoarece, unde q ij (t ) – element de matrice Q (t ) și e i (t ) și e j (t ) sunt componente vectoriale e(t), atunci erorile mari sunt evaluate „mai scump” decât cele mici.

Să luăm în considerare un membru. La fel de R(t) este o matrice definită pozitivă, atunci acest termen este pozitiv pentru oricare și „pedepsește” sistemul pentru acțiunile mari de control mai mult decât pentru cele mici.

In cele din urma, . Acest termen este adesea denumit costul de stat final. Scopul său este de a garanta „minuțiunea” erorii în momentul final al procesului de tranziție.

Criteriul de calitate (3) este convenabil din punct de vedere matematic, iar minimizarea lui duce la faptul că sistemele optime se dovedesc a fi liniare.

Problema de control optim este formulată astfel: sunt date un sistem de control dinamic liniar (1) și unul funcțional (3). Este necesar să se găsească controlul optim, adică control, sub influența căruia sistemul (1) se mișcă astfel încât să minimizeze funcționalitatea (3). Căutarea de soluții va fi efectuată pentru probleme cu o zonă deschisă de modificări ale acțiunilor de control și probleme în care acțiunile de control aparțin unui set dat.

EXERCIȚIU
1. Să studieze metoda de construire a controlului optim al sistemelor dinamice liniare
2. În conformitate cu numărul variantei, luați starea problemei din aplicație
3. Verificați controlabilitatea și proprietățile de observabilitate
4. Construiește Luenberger Observer
5. Obțineți o soluție analitică a problemei
6. Desenați o diagramă bloc a sistemului optim de control
7. Să studieze influența coeficienților de greutate asupra calității proceselor tranzitorii și asupra valorii funcționale de calitate
8. Modelarea matematică a sistemului de control cu ajutorul pachetului matlab

APENDICE

Obiect de control:

Functionalitate: .

Opțiunea numărul 1

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 2

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 3

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 4

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 5

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 6

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 7

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 8

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 9

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 10

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 11

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 12

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 13

Luați în considerare la:

;

Opțiunea numărul 14

Luați în considerare la:

14.1. ;

14.2. .

Opțiunea numărul 15

Luați în considerare când

15.1. ;

15.2. .

LITERATURĂ

Afanasiev V.N., Kolmanovsky V.B., Nosov V.R. teorie matematică proiectarea sistemelor de control - facultate. M., 2003, - 616 p.
Afanasiev V.N. Teoria controlului optim al sistemelor dinamice continue. Proiectare analitică. - M. Facultatea de Fizică a Universității de Stat din Moscova 2011, - 170 p.
Afanasiev V.N. Sisteme de control optime. RUDN. 2007. - 260 p.

Ieșire colecție:

CONTROL CU STRUCTURA VARIABILĂ A OBIECTELOR DINAMICE COMPLEXE

Markin Vasily Evghenievici

cand. tehnologie. Științe, profesor asociat, Universitatea de Stat din Moscova Lomonosov adm. G.I. Nevelskoy, Vladivostok

Vorobyov Alexey Yurievich

cand. tehnologie. Științe, profesor asociat, FEFU, Vladivostok

O sarcină urgentă a teoriei moderne de control este crearea de algoritmi și sisteme de control extrem de eficienți pentru controlul obiectelor dinamice complexe. Clasa de obiecte dinamice complexe include obiecte precum roboți de manipulare, vehicule subacvatice, mașini pentru prelucrare complexă etc. Trăsăturile caracteristice ale unor astfel de obiecte sunt dimensiunea mare a modelului matematic, neliniaritățile alt felîn modelul matematic, conexiunea multiplicată, precum și incertitudinea structurală și parametrică semnificativă care se manifestă în procesul de funcționare.

Cauzele incertitudinii parametrice pot fi atât proprietățile dinamice ale obiectului însuși (de exemplu, schimbarea configurației manipulatorului duce la o modificare multiplă a momentului redus de inerție), cât și acțiunea mediului. Din punct de vedere matematic, acest tip de incertitudine poate fi estimat după cum urmează:

Unde P i - un parametru. În timpul funcționării, parametrii obiectului pot lua o valoare din intervalul dintre valorile minime și maxime.

Pentru sinteza algoritmilor și sistemelor de control pentru obiecte dinamice complexe aflate în incertitudine, se folosesc diverse abordări: adaptiv, robust, rețea neuronală etc. În lucrare se folosește ca bază un algoritm de control cu structură variabilă. Sistemele cu structură variabilă (SPS) care funcționează folosind acest algoritm sunt cunoscute de mult timp ca sisteme de relee cu control discontinuu. Un control cu o structură variabilă este de obicei construit sub următoarea formă:

(2)

Unde - ecuația suprafeței de comutare (alunecare) în spațiul stărilor R n, care conține coordonatele de fază ale obiectului X 1 ,…X n. În mod tradițional, sunt considerate sisteme de ordinul doi, caz în care spațiul de stare degenerează într-un plan de fază, iar suprafața de comutare degenerează într-o linie de comutare. Ecuația suprafeței de comutare (linie) poate fi liniară sau neliniară. În cel mai simplu caz, linia de comutare este o linie dreaptă. În acest caz, suprafața de comutare este dată de un vector parametru C dimensiuni (n x 1), unde n- ordinea sistemului. Caracteristică sisteme cu structură variabilă (ATS) - prezența așa-numitului mod de alunecare. Modul de alunecare - un mod dinamic special al sistemului, în care mișcarea are loc pe suprafața de comutare s= 0 construit în spațiul fazelor R n(Fig. 1).

Poza 1. Modul de alunecare în SPS

Condiția principală pentru existența unui mod de alunecare este definită după cum urmează:

În modul de alunecare, sistemul funcționează în modul de comutare, care teoretic are loc la o frecvență infinit de mare. Traiectoria mișcării sistemului este determinată teoretic doar de ecuația liniei de comutare, care nu depinde de parametrii sistemului (de exemplu, de o sarcină variabilă). Procesele tranzitorii în modul de alunecare sunt stabile și monotone. Pentru a asigura proprietăți dinamice acceptabile ale sistemului, este necesară o setare inițială a parametrilor, pentru care se utilizează în mod tradițional metoda minimax: vector parametru c se alege astfel încât, pentru orice set de condiţii iniţiale, condiţia existenţei modului de alunecare (3) să fie îndeplinită. Cu alte cuvinte, valorile coeficienților liniei de comutare sunt alese ținând cont de valoarea maximă a parametrului în schimbare pi max(unu). Acest lucru face posibilă asigurarea apariției unui mod de alunecare în orice condiții inițiale. În același timp, viteza sistemului (care este determinată și de valorile elementelor vectorului c) devine scăzută. Acesta este unul dintre principalele dezavantaje ale SPS tradiționale. Pentru a crește viteza, se aplică adaptarea prin parametrul modului de alunecare. Algoritmul adaptiv pentru reglarea coeficientului liniei de comutare c are următoarea formă:

(4)

Unde k c - coeficient de proporționalitate, m, m d - valorile curente și respectiv de referință ale parametrului de alunecare.

Lucrarea investighează controlul adaptiv al conducerii unui robot de manipulare. Schema structurala sistemul de control automat este prezentat în fig. 2.

Imagine 2 . Schema structurală a gradului de libertate a sistemului de control al conducerii

Pentru a implementa principiul variabilității structurii, controlul releului este utilizat în lucrare:

La randul lui,

, (6)

Unde c- coeficientul planului de alunecare (de comutare).

Pentru modelarea prin simulare a fost folosit pachetul Simulink inclus în Matlab. Rezultatele simulării sub forma unei traiectorii de fază tridimensională a sistemului sunt prezentate în Fig. 3.

Figura 3. Traiectorii de fază și procesele temporale ale sistemului de ordinul trei: 1 - fără adaptare, 2 - cu adaptare.

Simularea arată o îmbunătățire semnificativă a performanței atunci când se utilizează controlul adaptiv. În plus, există o îmbunătățire semnificativă a performanței dinamice în comparație cu algoritmii tradiționali de control.

O altă direcție de cercetare este asigurarea unei mai mari robustețe a algoritmilor de control în raport cu parametrii obiectului și controlerului. Astfel, au fost dezvoltați algoritmi de control pentru un obiect dinamic complex de ordin înalt în condiții de incertitudine parametrică semnificativă. Pe baza algoritmilor propuși, sunt sintetizate sisteme de control adaptiv. Au fost efectuate experimente numerice care au demonstrat eficiența ridicată a soluțiilor propuse.

Bibliografie:

1. Dyda A.A., Markin V.E. Sisteme de control cu structură variabilă cu suprafețe de comutare pereche și neliniar deformabile. // Probleme de control. - 2005, nr 1. S. 22-25.

2. Markin V.E. Control suboptim al vitezei obiectelor dinamice complexe aflate în incertitudine. / Proceedings of the XIII Baikal International School-Seminar on Optimization Methods. T. 2 - Irkutsk, 2005. S. 177-181.

3.Teoria sistemelor cu structură variabilă. / Ed. S.V. Emelyanova - M.: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1970 - 592 p.

4. Utkin V.I. Moduri de alunecare în probleme de optimizare și control. - M: Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1981 - 368 p.

5.Dyda A.A. Proiectarea algoritmilor VSS adaptivi pentru comenzile robotului manipulator. Proc. Prima conferință de control din Asia. Tokyo, 27-30 iulie 1994. Pp 1077-1080.

REFERINȚE

1. Popov E.V. Sisteme expert de timp real [Resursa electronica] // Sisteme deschise - 1995. - № 2. - Electron. Dan. - Mod de acces: http://www.osp.ru/text/302/178608/

2. Crossland R., Sims W.J.H., McMahon C.A. Un cadru de modelare orientat pe obiecte pentru reprezentarea incertitudinii în proiectarea variantelor timpurii. // Cercetare în proiectare inginerească - 2003. - № 14. -С. 173-183.

3. Landmark Graphics BERBEC [Resursă electronică] - Electron. Dan. - 2006. - Mod de acces: http://www.geographix.com/ps/vi-ewpg.aspx?navigation_id=1273

4. Schlumberger Merak [Resursa electronică] - Electron. Dan. -2006. - Mod de acces: http://www.slb.com/content/servi-ces/software/valuerisk/index.asp

5. Gensim G2 [Resursa electronica] - Electron. Dan. - 2006. - Mod de acces: - http://www.gensym.com/?p=what_it_is_g2

6. Thurston D.L., Liu T. Design Evaluation of Multiple Attribute Un-

der Incertitudine // Automatizarea sistemelor: cercetare și aplicații.

1991. - V. 1. - Nr. 2. - P. 93-102.

7. Paredis C.J.J., Diaz-Calderon A., Sinha R., Khosla P.K. Modele compuse pentru proiectare bazată pe simulare // Inginerie cu calculatoare. - 2001. - Nr. 17. - P. 112-128.

8. Silich M.P. Tehnologia sistemului: o abordare orientată pe obiecte. - Tomsk: Tom. stat Universitatea de Sisteme de Control și Radioelectronică, 2002. - 224 p.

9. Silich M.P., Starodubtsev GV. Model de obiect de selecție proiecte de investitii dezvoltarea zăcămintelor de petrol și gaze. // Automatizare, telemecanizare și comunicare în industria petrolului. - 2004. - Nr. 11. - S. 16-21.

10. Khabibulina N.Yu., Silich M.P. Căutați soluții pe model relatii functionale // Tehnologia de informație

2004. - Nr 9. - S. 27-33.

11. Algoritmul Jess Rete [Resursa electronică] - Electron. Dan. -

2006. - Mod de acces: http://www.jessru-

les.com/jess/docs/70/rete.html

UTILIZAREA COMENZILOR DE DIMENSIONALITATE EXCESIVA PENTRU AUTONOMIZAREA IEȘIRILOR CONTROLATE ALE OBIECTELOR DE REGLARE MULTIDIMENSIONALĂ

A.M. Malyshenko

Universitatea Politehnică din Tomsk E-mail: [email protected]

Sunt sistematizate informații despre influența controalelor excesului de dimensiune asupra autonomizării ieșirilor obiectelor dinamice liniare staționare, sunt propuși algoritmi pentru sinteza precompensatoarelor care oferă un efect similar și feedback asupra stării și ieșirii.

Introducere

Problema controlului autonom (independent) al componentelor ieșirii controlate a unui obiect este una dintre cele mai importante sarcini din punct de vedere practic în sinteza sistemelor de control automat (ACS), poate pentru majoritatea obiectelor de control a ieșirii multidimensionale. Și-a găsit reflectarea în multe publicații, inclusiv în monografii, în special în.

Problemele autonomizării pentru obiectele multidimensionale liniare staționare au fost rezolvate mai detaliat. Cel mai adesea, sarcinile de autonomizare (decuplare) a fiecăreia dintre ieșirile obiectului sunt puse și rezolvate, de altfel, vectorul de control (RCV) care nu are o dimensiune în exces m. Datorită imposibilității de principiu a unei astfel de soluții pentru multe obiecte de tipul specificat, această problemă se modifică într-o problemă mai generală de decuplare linie cu linie, definită ca problema Morgan, când pentru un obiect cu p ieșiri este necesar să se determine p seturi de controale m>p și legea de control corespunzătoare, cu care fiecare dintre seturi afectează doar o ieșire. Astfel, soluția este determinată în clasa ACS cu o dimensiune în exces a vectorului de control conform

comparativ cu dimensiunea vectorului variabilelor controlate.

Alături de afirmațiile de mai sus, problemele de autonomizare sunt formulate și ca probleme de autonomizare bloc cu bloc (decuplare), când independența este asigurată doar între coordonatele de ieșire incluse în diferitele lor blocuri, dar nu și în cadrul acestor blocuri (grupuri), precum și ca autonomizare în cascadă. În acest din urmă caz, dependența coordonatelor de ieșire între ele este de natură „în lanț” (fiecare ulterioară depinde doar de cele anterioare, dar nu și de cele ulterioare din seria stabilită pentru ele). Și în aceste cazuri, rezolvarea problemelor de autonomizare necesită adesea redundanță în dimensiunea vectorului de control față de numărul de variabile controlate.

Condiții de rezolvare a problemelor de autonomizare

Soluțiile la problemele de autonomizare se găsesc de regulă în clasa precompensatoarelor liniare sau a feedback-urilor liniare statice sau dinamice, iar în aceste scopuri sunt utilizate atât aparatul matricelor de transfer (cel mai adesea), cât și metodele din spațiul de stare, abordările structurale și geometrice. Ultimele două

abordările le completează cu succes pe primele, întrucât de fapt numai cu ajutorul lor s-a putut stabili majoritatea condițiilor cunoscute de rezolvare a problemelor de autonomizare [b], pentru a da interpretări mai profunde ale soluțiilor acestora.

Când se utilizează pentru autonomizare (decuplare) ieșirile unui obiect precompensator multidimensional liniar, adică un controler care implementează control strict în funcția de setare ¡d(t) fără părere, matricea sa de transfer Wy(s) este aleasă din condiție

Wœ(s) = Wo(s) -W y(s), (1)

unde Wo(s) este matricea de transfer a obiectului de control și Wx(s) este matricea de transfer dorită a sistemului sintetizat care îndeplinește condițiile pentru decuplarea acestuia prin ieșiri.

Feedback-ul static liniar utilizat în aceste scopuri corespunde algoritmului de control

u(t) = F x(t) + G /u(t), (2)

si dinamic -

u (s) = F (s) x(s) + G fi(s). (3)

Aceste feedback-uri sunt realizabile atât cu un regulat (matricea G este inversabilă), cât și cu o transformare neregulată a specificației ¡d(t) a sistemului.

Conform celor de mai sus, feedback-urile dinamice pot fi definite ca caz special extensii dinamice, completând obiectul descris de sistemul de ecuații sub forma „input-state-output” de forma

x (t) = Ax (t) + Bu (t), y (t) = C x (t),

ua (t) p _ xa (t)_

unde xa(/) = ua(/), sau prin ecuația operatorului generalizat

și (5) = G(5) x(5") + O(5) ¡l(5).

Controlul unui obiect cu un model de vedere conform algoritmului (2) dă matricea finală de transfer a sistemului

W^) \u003d C (51 - (A + B G (5))) ~ 1BO \u003d

J0(5) . (1 - G (5) (51 - A) -1 B) -1 O \u003d W0 (5) . H(5), (4)

unde Wo(s)=C(sI-AylB și #(£) sunt, respectiv, matricele de transfer ale obiectului și precompensatorul, care este echivalent în ceea ce privește efectul de feedback; I este matricea unitară a dimensiunii nxn.

Transformarea Morse canonică g=(T,F,G,R,S) utilizată în abordarea geometrică cu reversibil Unelte T,G,S matrici Wo(e) ale obiectului „Lo(C,A,B)

(A, B, C) ^ (TA + BF + R C)T,T ~lBG, SCT)

reduce Wo(s) la transformările sale bicauzale stânga și dreapta ale formei

W0(s) ^ Bi(s)-W0(s)-B2(s), (5)

unde B1(s) = S_1;

B2(s) = -G.

Din (4) și (5) rezultă că static regulat

Feedback-urile (2) și dinamice (3) pot fi interpretate ca precompensatori bicauzali, adică pot fi înlocuiți cu precompensatori bicauzali care au efect echivalent. Afirmația inversă este adevărată și în ceea ce privește a doua, totuși, precompensatorul bicauzal H(s) este implementat conform formei unui feedback static liniar echivalent numai pentru un obiect cu Wo(s) de implementare minimă și dacă și numai dacă Wo(s) și H-1(s) - matrici polinomiale.

Din (5) putem concluziona, de asemenea, că precompensatorii bicauzali și feedback-urile regulate corespunzătoare lor statice și dinamice nu pot schimba structura sistemului la infinit și proprietățile acestuia, în special, inerția minimă (întârzieri) canalelor de control autonome. Aceste modificări pot fi realizate numai în clasa algoritmilor de control neregulat.

Condițiile de solubilitate pentru problemele de autonomizare sunt legate de proprietățile structurale ale obiectelor gestionate descrise de listele lor de invarianți. Mai mult, setul necesar pentru aceasta este determinat de ce algoritm (compensator) este planificat să fie utilizat în aceste scopuri. În consecință, pentru a determina feedback-urile dinamice de decuplare realizabile, este suficient să existe informații despre structura de intrare-ieșire a obiectului, încorporate în matricea sa de transfer sau în partea minimă a descrierii din spațiul de stare. Rezolvarea acestei probleme folosind feedback-ul static asupra stării este stabilită de structura internă a obiectului de control, în special, pe baza studiului matricelor sale de sistem Rosenbrock sau Kronecker sau descompunerea canonică Morse.

Precompensatorul care decuplă ieșirile obiectului rând cu rând conform poate fi determinat din (1) dacă și numai dacă m>p, iar matricile [ Wo(s) : W(s)] și Wo(s) au aceeași structură a formei Smith-McMillan la infinit.

Dacă matricea de transfer a obiectului are rang de rând complet ( conditie necesara linia-

decuplarea asigurată numai la t>p), apoi decuplarea poate fi asigurată de un precompensator cu o matrice de transfer

unde Wnob(s) este inversul drept al lui W0(s) și k este un număr întreg care face din Wn(s) o matrice proprie.

Se dovedește că decuplarea cu feedback static obișnuit (2) este posibilă dacă și numai dacă decuplarea cu feedback dinamic obișnuit este posibilă

(3). La rândul său, conform , aceasta din urmă este posibilă dacă și numai dacă structura infinită a matricei de transfer a obiectului este unirea structurilor infinite ale rândurilor sale.

Regularitatea feedback-ului implică de fapt că obiectul nu are redundanță în dimensiunea vectorului de control (m=p). Prin urmare, dacă decuplarea nu este realizabilă în acest caz, iar obiectul controlat are un potențial IRTI, atunci pentru a obține o autonomie de control a fiecăreia dintre valorile de ieșire este recomandabil să se folosească această redundanță sau unele modificări constructive în obiectul de control. pentru a-și realiza mai întâi IRTI. De asemenea, trebuie avut în vedere că în situațiile în care m>p, feedback-ul regulat poate să nu conducă la rezultatul dorit, în timp ce în clasa precompensatoarelor neregulate sau același feedback se poate obține. De exemplu, pentru un obiect cu o matrice de transfer

Feedback-urile neregulate corespund unor precompensatori pur și simplu cauzali (strict adecvati). Prin urmare, sistemele pe care le formează cu obiectul de control nu vor păstra în general structura obiectului controlat la infinit. Acest lucru, în special, poate fi utilizat pentru a asigura stabilitatea sistemului sintetizat. Reamintim că s-a dovedit încă din 1996 că, cu ajutorul feedback-ului regulat, decuplarea și stabilitatea sistemului pot fi realizate simultan dacă și numai dacă obiectul nu are zerouri invariante instabile ale relației. Ultimele sunt acele zerouri invariante £0(C, A, B) care nu sunt la fel

zerouri temporale și invariante ale subsistemelor de rând £;(C,A,B). Aici c, /e 1,p este /-lea rând al matricei C a obiectului. Aceste zerouri, în funcție de condițiile de decuplare, determină restricțiile privind alegerea polilor sistemului sintetizat. În acest caz, setul de poli fix (nepermițând alocare arbitrară) ai unui sistem decuplat de ieșiri trebuie să includă în mod necesar toate zerourile invariante ale relației.

Astfel, algoritmul de control în cazul zerourilor drepte invariante ale relației din obiect trebuie ales din condiția ca acesta să poată face corecția necesară condițiilor de stabilitate în proprietățile structurale ale sistemului. Astfel, așa cum se arată mai sus, pot fi algoritmi cu feedback neregulat, care sunt de fapt implementați în clasa de sisteme cu IRVE.

O soluție completă la problema decuplării folosind feedback pentru obiectele cu zerouri invariante drepte ale relației nu a fost încă obținută. În special, pentru implementarea sa cu feedback static, este necesar, după cum urmează din , să se facă structura subspațiului de controlabilitate maximă conținută în KerC suficient de bogată pentru ca structura infinită să crească până la lista ordinelor obiectelor esențiale. Acestea din urmă caracterizează gradul de dependență la infinit între ieșirile individuale și toate celelalte și pot fi calculate prin formula:

pgv \u003d HPg -X Pg g \u003d 1 g \u003d 1

ieșirile nu sunt decuplate de feedback obișnuit, ci sunt decuplate de un precompensator cu matrice de transfer static

Aici n este ordinea zeroului infinit al sistemului s¡ sub forma matricei de transfer Smith-McMillan a obiectului. Prima sumă din (6) este determinată pentru sistemul £0(C, A, B) ca întreg, iar a doua - pentru CS;, A, B), unde C / este matricea C fără /- rândul. Ordinele esențiale indicate aici determină structura minimă infinită care poate fi obținută dintr-un sistem decuplat.

Pentru feedback-ul dinamic neregulat în , se stabilește doar condiția de decuplare, care se rezumă la faptul că redundanța dimensiunii vectorului de control (m-p) trebuie să fie mai mare sau egală cu deficitul rangului coloanei la infinitul matricei interactorului W0 (s), iar acesta din urmă trebuie să aibă rang de rând complet. Interactorul specificat al matricei de transfer a obiectului W0(s) este matricea inversă formei hermitiene a lui W0(s). În treacăt, observăm că ordinea esențială /-a a unui obiect poate fi determinată prin interactorul matricei sale de transfer și este egală cu gradul polinom al coloanei --a.

Deciziile generale pentru sinteza algoritmilor de control din clasa ACS cu IRVU chiar si pentru obiecte liniare care asigura autonomizare

rezultatele lor nu au fost încă primite. Utilizarea controalelor de dimensiune în exces în rezolvarea problemelor de decuplare linie cu linie (autonomizarea ieșirilor) a unui obiect este de fapt necesară.

Aceasta este o condiție importantă în acele cazuri în care obiectul controlat nu îndeplinește condițiile pentru rezolvarea acestei probleme din clasa precompensatoarelor bicauzale și feedback-urile corespunzătoare.

BIBLIOGRAFIE

1. Wonem M. Sisteme de control multidimensionale liniare. - M.: Nauka, 1980. - 375 p.

2. Rosenbrock H.H. Teoria spatiului statelor si multivariabila. - Londra: Nelson, 1970. - 257 p.

3. Meerov M. V. Cercetarea și optimizarea sistemelor de control multiconectate. - M.: Nauka, 1986. - 233 p.

4. Malyshenko A.M. Sisteme de control automat cu dimensiunea excesivă a vectorului de control. - Tomsk: Editura Politehnicii din Tomsk. un-ta, 2005. - 302 p.

5. Commault C., Lafay J.F., Malabre M. Structure of linear systems. Abordări geometrice și matrice de transfer // Cybernetika. - 1991.

V. 27. - Nr. 3. - P. 170-185.

6. Descusse J., Lafay J.F., Malabre M. Solution of Morgan’s problem // IEEE Trans. automat. Control. - 1988. - V. aC-33. -P. 732-739.

7 Morse A.S. Invarianții structurali ai sistemelor multivariabile liniare // SIAM J. Control. - 1973. - Nr. 11. - P. 446-465.

8. Aling H., Schumacher J.M. O descompunere canonică de nouă ori pentru sisteme liniare // Int. J. Control. - 1984. - V. 39. - P 779-805.

9. Hautus M.L.J., Heymann H. Linear feedback. O abordare algebrică // SIAM J. Control. - 1978. - Nr. 16. - P. 83-105.

10. Descusse J., Dion J.M. Despre structura la infinit de sisteme liniare pătrate decuplabile // IEEE Trans. automat. Control. - 1982.-V. AC-27. - P. 971-974.

11. Falb PL., Wolovich W. Decupling in the design and synthesis of multi-variable systems // IEEE Trans. automat. Control. - 1967. -V. AC-12. - P 651-669.

12. Dion J.M., Commault C. The minimal delay decoupling problem: feed-back implementation with stability // SIAM J. Control. -1988. - Nr. 26. - P. 66-88.

UDC 681.511.4

CORRECTORI ADAPTATIVI PSEUDOLINEARI AI CARACTERISTICILOR DINAMICE ALE SISTEMELOR DE CONTROL AUTOMAT

M.V. Skorospeshkin

Universitatea Politehnică din Tomsk E-mail: [email protected]

Sunt propuși corectori adaptivi de amplitudine și fază pseudoliniari ai proprietăților dinamice ale sistemelor de control automat. A fost efectuat un studiu al proprietăților sistemelor de control automat cu corectori adaptivi. Este prezentată eficacitatea utilizării corectoarelor adaptative pseudoliniare în sistemele automate de control cu parametri nestaționari.

În sistemele automate de control pentru obiecte ale căror proprietăți se modifică în timp, este necesar să se asigure o modificare intenționată a caracteristicilor dinamice ale dispozitivului de control. În cele mai multe cazuri, acest lucru se realizează prin modificarea parametrilor controlerelor proporțional-integral-derivate (controlere PID). Astfel de abordări sunt descrise, de exemplu, în , cu toate acestea, implementarea acestor abordări este asociată fie cu identificarea, fie cu utilizarea unor metode speciale bazate pe calcule de-a lungul curbei tranzitorii. Ambele abordări necesită un timp semnificativ de reglare.

Această lucrare prezintă rezultatele studierii proprietăților sistemelor automate de control cu un controler PID și corectori secvențiali de amplitudine și fază pseudoliniari ai caracteristicilor dinamice. Acest tip de adaptare este caracterizat

faptul că în timpul funcționării sistemului de control parametrii controlerului nu se modifică și corespund setării anterioare punerii în funcțiune a sistemului. În timpul funcționării sistemului de control, în funcție de tipul de corector utilizat, se modifică coeficientul de transmisie al corectorului sau defazajul creat de acesta. Aceste modificări apar numai în acele cazuri în care există fluctuații ale valorii controlate asociate cu o modificare a proprietăților obiectului de control sau din cauza impactului perturbărilor asupra obiectului de control. Și acest lucru permite asigurarea stabilității sistemului și îmbunătățirea calității proceselor tranzitorii.

Alegerea corectoarelor pseudoliniare pentru implementarea sistemului adaptiv este explicată după cum urmează. Corectorii utilizați pentru modificarea proprietăților dinamice ale sistemelor de control automate pot fi împărțiți în trei grupe: liniari, neliniari și pseudo-liniari. Principalul dezavantaj al corectoarelor liniare este asociat cu