Számítástechnika, kibernetika és programozás
A Poisson-áramlás definíciója. A Poisson-áramlás közönséges áramlás, utóhatások nélkül. Az információs hálózatok forgalmának klasszikus modellje a Poisson legegyszerűbb áramlás. Jellemzője a Pk valószínűségek halmaza, hogy k üzenet érkezik egy t időintervallumban: ahol k=01 üzenetek száma; λ áramlási intenzitás.
1. A Poisson-áramlás definíciója. Tulajdonságok.
A Poisson-áramlás közönséges áramlás, utóhatások nélkül.
Az információs hálózatok forgalmának klasszikus modellje a Poisson (legegyszerűbb) áramlás. A P(k) valószínűségek halmaza jellemzi, hogy k üzenet érkezik egy t időintervallumon belül:
ahol k=0,1,… - üzenetek száma; λ - áramlási intenzitás.
Megjegyzendő, hogy az üzenetek számának t mérésére szolgáló időintervallum és az áramlási intenzitás λ állandó értékek.
A λ-tól függő P(k) Poisson-eloszlások családját az 1. ábra mutatja. A nagyobb λ érték szélesebb és szimmetrikusabb valószínűségi sűrűség diagramnak felel meg.
Rizs. 1. Poisson-eloszlások. Valószínűségi sűrűségek.
A Poisson-áramlás várható értéke (átlaga) és szórása egyenlő λ-val t.
Ismerve az adatok egy periódusra való beérkezésének valószínűségét, megkaphatjuk a τ intervallum eloszlását a szomszédos események között:
Ebből következik a következtetés: a Poisson-folyamot az események közötti intervallumok exponenciális eloszlása jellemzi.
A Poisson-áramlás fő tulajdonsága, ami meghatározza azt széles körű alkalmazás a modellezésnél az additívitás: a Poisson fluxusok összegének eredő fluxusa is Poisson teljes intenzitással:
A modellezés során egy Poisson-folyamot kaphatunk ON/OFF forráskészlet multiplexelésével, amelyeket Markov-folyamatoknak nevezünk (2. ábra).
Rizs. 2. A Poisson-eloszlás beszerzése
2. QS hibákkal (klasszikus Erlang rendszer)
Itt az elmélet egyik első „klasszikus” problémáját fogjuk megvizsgálni sorban állás; ez a probléma a telefonálás gyakorlati szükségleteiből fakadt, és 1909-ben A.K. dán matematikus mérnök oldotta meg. Erlang. A probléma a következőképpen fogalmazódik meg: n csatorna (kommunikációs vonal) van, amely λ intenzitású kéréseket fogad. Az egyes csatornák szolgáltatásfolyamának intenzitása μ. Határozza meg a rendszerállapotok korlátozó valószínűségét és a hatékonyságának mutatóit.
Az S rendszer (SMO) a következő állapotokkal rendelkezik (a rendszerben lévő alkalmazások száma szerint számozzuk őket): S 0 , S 1 ,…, S n , ahol S k a rendszer állapota, amikor k kérés van, azaz. k csatorna foglalt.
Az SMO állapotgrafikonja megfelel a halál és szaporodás folyamatának (3. ábra).
Rizs. 3. A QS állapotgráfja
A kérések áramlása szekvenciálisan átviszi a rendszert bármelyik bal oldali állapotból a szomszédos jobb oldali állapotba, azonos λ intenzitással. A rendszert bármely jobb oldali állapotból a szomszédos bal oldali állapotba átvivő szolgáltatások áramlásának intenzitása állapottól függően folyamatosan változik. Valóban, ha a QS S állapotban van 2 (két csatorna foglalt), akkor mehet az S állapotba 1 (az egyik csatorna foglalt), amikor az első vagy a második csatorna befejezi a szervizelést, pl. szolgáltatási áramlásaik teljes intenzitása 2μ lesz. Hasonlóképpen, a QS-t az S állapotból átadó teljes szolgáltatásfolyam 3 (három csatorna foglalt) S-ben 2 , intenzitása 3μ lesz, azaz. a három csatorna bármelyike szabaddá válhat stb.
Az (1) képletben a halál és a szaporodás sémájára megkapjuk az állapot maximális valószínűségét:
(1)
hol vannak a bővítési feltételek
- együtthatók p 0
határvalószínűségek kifejezéseiben p 1 , p 2 ,..., p n .
Megjegyezzük, hogy az (1) képletben a λ és μ intenzitás nem külön szerepel, hanem csak a μ/λ arány formájában. Jelöljük: μ/λ = p , és a ρ értéket a kérések áramlásának csökkentett intenzitásának vagy a csatornaterhelés intenzitásának nevezzük. Az egy alkalmazás átlagos kiszolgálási ideje alatt beérkező kérelmek átlagos számát fejezi ki. Ezzel a jelöléssel átírjuk az (1) képletet a következő alakba:
(2)
Ahol:
(3)
A határvalószínűségek (2) és (3) képleteit Erlang-képleteknek nevezik a sorbanálláselmélet megalapítójának tiszteletére.
A QS meghibásodásának valószínűsége annak a maximális valószínűsége, hogy a rendszer mind az n csatornája foglalt lesz, azaz.
Innen megtaláljuk a relatív átviteli sebességet, annak a valószínűségét, hogy a kérés kiszolgálásra kerül:
Az abszolút átviteli sebességet úgy kapjuk meg, hogy a λ kérések áramlásának intenzitását megszorozzuk Q-val:
(4)
Csak meg kell találni a foglalt csatornák átlagos számát k. Ezt az értéket „közvetlenül” lehetett megtalálni, mint egy diszkrét valószínűségi változó matematikai elvárásait 0,1,... n és ezeknek az értékeknek a valószínűségei p 0 , p 1 , …, p n :
Helyettesítve itt a (3) kifejezéseket p helyére k és a megfelelő transzformációkat végrehajtva végül egy k képletet kapnánk. A foglalt csatornák átlagos száma azonban könnyebben megállapítható, ha figyelembe vesszük, hogy az abszolút áteresztőképesség A rendszer nem más, mint a rendszer által kiszolgált alkalmazások áramlásának intenzitása (időegységenként). Mivel minden foglalt csatorna átlagosan μ kérést szolgál ki (időegységenként), így a foglalt csatornák átlagos száma:
vagy adott (4):
Valamint más művek, amelyek érdekelhetik |
|||
| 58607. | Táblázatos információs modellek | 106,5 KB | |
| Tanulás tárgya: táblázatos információs modellek típustáblázat objektumok-tulajdonságok táblázat objektumok-objektumok egy típustáblázat objektumok objektumok több típustáblázat objektum tulajdonságai objektumok. Tanulási eszközök: Logikai elemzés: Az operációs rendszer típustáblája egy olyan táblázat, amely információkat tartalmaz... | |||
| 58610. | Családi törvény | 50,5 KB | |
| A lecke célja: jellemezni a családjog alapjait az Orosz Föderációban, és továbbra is fejleszteni a tanulók azon képességét, hogy erkölcsi és jogi helyzetben válasszon cselekvéseket és cselekedeteket a családjogi és erkölcsi normákkal összhangban. Óracélok: családjogi tudásrendszer kialakítása... | |||
| 58612. | Menedzsment | 33,5 KB | |
| Az órák alatt. Közösen emlékeztünk a gazdálkodásról, annak funkcióiról, belső ill külső környezet a kommunikáció szerepének kezelése Az óra önelemzése A szerkezet elemzése. Ez a lecke a lecke összes fő szakaszát lefedte. | |||
| 58613. | Temperamentum és szakmaválasztás | 60,5 KB | |
| Óracélok: Oktatás a temperamentumtípus fogalmainak megismertetésére; Fejlesztő a tanulók választási érdeklődésének fejlesztésére jövőbeli szakma; Oktatás a kemény munka és a jövőbeli szakmaválasztási vágy fejlődésének elősegítésére... | |||
| 58615. | Lecke a 3d max animáció megjelenítéséről. 3d Max animáció exportálása videóba | 230,5 KB | |
| A Render Output részben kattintson a Fájlok gombra, és lépjen a mappába, vagy hozzon létre egy újat, ahol elmentjük az így létrejött animációs képkockákat. Nyomja meg a Sve gombot, hogy visszatérjen a Render Setup ablakhoz. Indítsa el a renderelést a Render gomb megnyomásával. | |||
Tekintsük az egyes szintek felépítésének jellemzőit. A gyakorlatban a leggyakrabban bejövő keresleti áramlások Poisson /47, 70, 74, 80/. A Poisson-áramlásokat az állóképesség, a hétköznapiság és az utóhatások hiánya jellemzi. Nézzük ezeket a tulajdonságokat.
A vizsgált makromodellben a bejövő igényáramok általában a stacionaritás, a hétköznapiság és az utóhatás hiánya tulajdonságokkal rendelkeznek. A Poisson-áramlást teljesen leírja egy paraméter - az R áramlás intenzitása. Az R hozzávetőleges képlete a következő:
A legegyszerűbb esetben (Poisson-áramlás) annak a valószínűsége, hogy egy követelmény tetszőleges időn belül megjelenik, arányos ennek az intervallumnak a hosszával, és nem függ attól, hogy a korábbi időszakokban felmerültek-e követelmények vagy sem.
Mivel homogén μ intenzitású Poisson-áramlásról van szó, akkor az egyenlőségek együttes teljesülése
Y(t) = k és Y(T-t) = q-k (ez abból következik, hogy nincs utóhatás egy Poisson-áramlásban). Ezért
A Poisson-áramlások véletlenszerű ritkításából vagy egyesüléséből származó áramlás szintén Poisson.
Például egy adatfolyam analitikus leírásakor ez lehet egy Poisson-követelményfolyam, amely közönséges, állandó, és nem tartalmaz utóhatásokat. Ez lehet egyenletesen elosztott követelményekkel rendelkező áramlás. Ha az eloszlást tapasztalati adatokkal adjuk meg, akkor az értékek 7i1 7i2,. .., š a hisztogramok elemei lehetnek stb.
Gyakran előfordulnak olyan átalakítások, amelyek megkövetelik a különböző bemenetekről érkező folyamok kombinálását. Ebben az esetben a kimenő jel ezeknek az adatfolyamoknak a kombinációját képviselheti egy különböző jellemzőkkel rendelkező egybe. Például, ha a C blokk két bemenete Poisson-igényeket kap, akkor a kimeneti jel lehet egy Poisson-folyam is, amelynek paramétere megegyezik az eredeti folyamok paramétereinek összegével.
Kövesse egymást az egyszeri kifizetések véletlenszerű időközönként, exponenciális törvény szerint elosztva R > 0 paraméterrel (fizetések Poisson-áramlása), amelynek differenciális eloszlásfüggvénye a következő alakú
Instabil Poisson-áramlás esetén a rés / eloszlásának törvénye már nem irányadó, mivel az Ot tengelyen elfoglalt helyzettől és az R(7) függés típusától függ. Azonban néhány probléma esetében, ahol az R(0) viszonylag kis változásai vannak, ez megközelítőleg indikatívnak tekinthető R(0-) intenzitás mellett.
Így a vizsgált, diszkrét állapotú és folytonos idejű S rendszer esetében az állapotból állapotba való átmenetek bizonyos R intenzitású Poisson eseményfolyamok hatására következnek be.
A vizsgált modellben a kapacitást korlátozottnak kell tekinteni. A beérkező igényáram korlátozott számú működő géptől származik (N - k), amelyek véletlenszerűen meghibásodnak és karbantartást igényelnek. Ezenkívül (N - k) minden gépe üzemel. Intenzíven generálja a követelmények Poisson áramlását
Képzeljünk el egy autót egy bizonyos S rendszerként, amelynek diszkrét iSj, állapotai vannak. 2. .... Sn, amely az S/ állapotból az Sj(i - 1, 2,..., n,j = I, 2,..., and) állapotba kerül Poisson eseményfolyamok hatására (meghibásodások) intenzitással Xd. Figyelembe vesszük az autó alábbi állapotait, amelyek üzem közben lehetnek, és amelyekre egész napos állásidő jellemző
Az események méregfolyama 53
Megjegyzendő, hogy míg a számla betétes általi felszámolásához vezető körülmények bekövetkezésének k (t) Poisson-folyamata modellünk keretein belül nem megfigyelhető, addig a számlavezetés q (tu,t) valószínűsége és a várható A számla létezésének időtartama XI1 = Mt - 10 elvileg a megfigyelhető statisztikákból becsülhető meg. Ha az Mt - 0 és q (t0,t) értékekre t - 10 és 4-(tu,t) statisztikai becsléseket kapunk, könnyen kaphatunk L. =(t. -)" és X =-( i-t0) ln (0 0 egy nem megfigyelhető Poisson-folyamat A paraméterére. Az így becsült X paraméter a számlazáráshoz vezető körülmények időegységenkénti előfordulásának várható számát jelenti.
A vállalkozók vagy új vállalkozók populációjának születési folyamata tehát egyszerű Poisson-áramlásnak tekinthető.
A legegyszerűbb Poisson-áramlás esetén annak a valószínűsége, hogy pontosan m esemény fog bekövetkezni r időben, egyenlő
Meghatározás 5.8. Az álló Poisson-áramlást a legegyszerűbbnek nevezzük.
Tekintsünk egy nem stacionárius Poisson-áramlást, amelynek intenzitása Mf), egy bizonyos r>0 hosszúságú időintervallum, amely a t0 pillanattól kezdődik (és ezért a +r pillanatban ér véget) és egy X p r diszkrét valószínűségi változót. az áramlásban előforduló események száma ta-tól t0+r-ig terjedő időtartam alatt.
Következmény 6.1. A(t) intenzitású instabil Poisson-áramlásban annak a valószínűsége, hogy a t0 és t0+r közötti időintervallumban
Meghatározás 6.2. Egy esemény bekövetkezésének valószínűségi eleme egy nem stacionárius Poisson-folyamban egy esemény bekövetkezésének >,(AO) valószínűsége elemi (kellően kis) időtartamon keresztül t0-tól t0+bt-ig.
6.2. Tétel. Egy esemény bekövetkezésének valószínűségi elemére egy t0 és t0+Af közötti elemi időtartam alatt egy A(t) intenzitású, nem stacionárius Poisson-áramlásban a közelítő képlet érvényes.
A bizonytalan Poisson-áramlás intenzitása A(t)
Azonban in utóbbi években bebizonyosodott, hogy „ha egy /7 eszközből álló szolgáltató rendszer /I intenzitású Poisson áramlást kap, és a szolgáltatás időtartamára egy teljesen önkényes C (ES) eloszlási törvény vonatkozik, melynek matematikai eloszlása I/ c , akkor a P korlátozó valószínűségekre érvényes marad a képlet (36), Ezért stacionárius üzemmódban a / valószínűségek nem a szolgáltatási időtartam valószínűségi eloszlásának jellemzőitől, hanem csak az átlagos szolgáltatási időtartamtól függenek. .
Tekintsük egy ilyen probléma megoldását a Neftekumsky UBR körülményei között. A vizsgálószolgálat munkájának elemzése lehetővé tette a kutak tesztelési intenzitásának és a tesztelés időtartamának statisztikai sorok összeállítását. A sorozat vizsgálata arra engedett következtetni, hogy a tesztbe belépő kutak áramlása egyetlen stacionárius áramlás következmények nélkül, azaz Poisson-áramlás tulajdonságaival rendelkezik. Megfelelő pontossággal feltételezhetjük, hogy a szolgálati idő exponenciális törvény szerint oszlik meg. Statisztikai sorozatok alapján táblázatokat állítottunk össze a tesztelésre szánt kutak kiszállítási intenzitásának megoszlására (36. táblázat)
Ezt a problémát a következőképpen fogalmazzuk meg: a követelmények áramlása I. intenzitású Poisson, a szolgáltatási időtartam pedig az exponenciális törvény szerint oszlik el, átlagos szolgáltatási időtartammal iAy. Ha a szervizeszközök száma egyenlő n-nel, akkor stacionárius Poisson-folyamattal a Pt (t) valószínűségek (a valószínűségek, hogy t pillanatban a szervizelést I készülékek foglalják el) közel vannak a határértékükhöz (Erlash képlet)
Ha több független, összehasonlítható intenzitású közönséges áramlást kombinálunk, akkor a komponens áramlások számának növekedésével a kombinált áramlás megközelíti a legegyszerűbbet a lehetséges nem-stacionaritás mellett. Ha az összegzett áramlások stacionáriusak, akkor a határértékben Poisson-áramlást kapunk. A kombinált áramlás intenzitása megegyezik mindegyik intenzitásának összegével.
A blokkban található egységek mindegyike egy összetett rendszer, amely nagyszámú elemből áll. Mindegyikük elmulasztása a teljes egység képességének elvesztéséhez vezethet a kijelölt feladat végrehajtására. Egy egység meghibásodási áramlása az idő múlásával számos esemény szuperpozíciója eredményeként jön létre - az összetételében szereplő elemek meghibásodási áramlása. Gyakorlati probléma megoldása során az elemek meghibásodásai független (vagy gyengén függő) és hétköznapi eseményeknek tekinthetők, ezért a teljes egység teljes meghibásodási áramlására nézve indokolt az áramlási határtétel alkalmazása a véletlenszerű folyamatok elméletében. . Ez a tétel meghatározza azokat a feltételeket, amelyek mellett a független (vagy gyengén függő) közönséges eseményfolyamok összege az egységhibák számának Poisson-eloszlására csökken egy adott t időtartam alatt ugyanaz a hatás a teljes áramlásra. A mérnöki gyakorlatban 5-7-nél több áramlás összegét javasolt Poisson-áramlásnak tekinteni, ha ezen áramlások intenzitása azonos nagyságrendű. Ez az állítás több, statisztikai teszteléssel végzett vizsgálaton alapul. A fentiek alapján az IES egység egyes egységeinek m meghibásodásainak száma, amelyek a (/, M-t) intervallumon belül előfordulnak, a következő alakú eloszlású
Az egység normál működésének időszakában (a központi részben) gyakorlati feladatok megoldása során gyakran feltételezik, hogy R(/) = R = onst, azaz. stacionárius Poisson hibaáramlási modellt alkalmazunk. Ebben az esetben a (2.8.1) képlet a formát veszi fel
Az IES egység hibamentes mutatója szerint a tüzelőanyag-cső meghibásodásai közötti átlagos időt veszik, a karbantarthatósági mutatót pedig az üzemanyagcső meghibásodása utáni üzemállapot helyreállításának átlagos időtartama mutatók, használjuk az ingatlant
Ha a szám n tesztek meglehetősen magas, és a valószínűsége p esemény bekövetkezése A független kísérletekben kicsi, akkor az általunk használt valószínűség meghatározásához Poisson-tétel
: Ha bent van n független kísérletek valószínűsége p esemény bekövetkezése A mindegyikben állandó és kicsi, és a kísérletek száma meglehetősen nagy, akkor az A esemény bekövetkezésének valószínűsége k képlettel számolva 
, Ahol 
.
Ezt a képletet ún Poisson-képlet .
15. példa. Annak a valószínűsége, hogy minden egyes géppuska lövéssel eltalálják a repülőgépet, 0,001. 3000 lövést adnak le. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a gépet eltalálja: a) egyszer vagy kétszer; b) legalább egyszer.
Megoldás. A példa szerint n=300, p=0.001, 
.
a) Jelöljük az A= (egyszer vagy kétszeri síkba ütközés) eseményt. Akkor .
b) Jelöljük a B= eseményt (legalább egyszer eltalálni a síkot). Akkor .
Az események áramlása olyan események sorozata, amelyek véletlenszerű időpontokban egymás után következnek be.
Például egy hívásfolyam a szolgáltatási szektorban (TV-javítás, mentőhívás stb.), egy telefonközpont hívásfolyama, egy bizonyos rendszer egyes részeinek működési hibája stb.
A patak ún a legegyszerűbb , ha a következő feltételek teljesülnek:
Egy esemény bekövetkezésének valószínűsége az időtartam hosszától függ t;
Számos esemény bekövetkezésének valószínűsége bármely időszakon belül nem függ azon események számától, amelyek ezen intervallum kezdete előtt történtek;
Annak a valószínűsége, hogy két vagy több esemény meglehetős rövid időn belül bekövetkezik, kicsi, és minél kisebb, annál kisebb a valószínűsége.
Ha ezek a feltételek teljesülnek, a következő állítás igaz:
A képlet határozza meg annak valószínűségét, hogy egy véletlen esemény k alkalommal fog bekövetkezni t idő alatt
,
ahol az időegység alatt bekövetkező események átlagos száma.
16. példa. A takács által üzemeltetett szövőszékeken egy órán belül 90 cérnaszakadás következik be. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 4 percen belül a következők következnek be: 1) egy szünet; 2) legalább egy szünet.
Megoldás. Feltétel szerint t=4. A szünetek átlagos száma percenként a 
. Akkor 
.
1) 
. 2) .
A tudás önkontrollának kérdései
1. Hogyan nevezzük a közös rendezvények összegét?
2. Mit nevezünk inkompatibilis események összegének?
3. Hogyan fogalmazódik meg az inkompatibilis események valószínűségeinek összeadásának tétele?
4. Mennyi az ellentétes események valószínűségeinek összege?
5. Hogyan nevezzük két esemény szorzatát?
6. Milyen eseményeket nevezünk függetlennek?
7. Hogyan fogalmazódik meg a független események valószínűségeinek szorzására vonatkozó tétel?
8. Milyen eseményeket nevezünk függőnek?
9. Mit nevezünk feltételes valószínűségnek?
10. Hogyan fogalmazódik meg a függő események valószínűségeinek szorzására vonatkozó tétel?
11. Mit nevezünk egy esemény teljes valószínűségének, és hogyan írható fel a teljes valószínűségi képlet?
12. Hogyan írható fel Bayes képlete?
13. Milyen teszteket nevezünk függetlennek, és hogyan írják fel a Bernoulli-képletet?
14. Hogyan fogalmazódik meg Laplace lokális tétele?
15. Hogyan fogalmazódik meg Laplace integráltétele?
16. Hogyan fogalmazódik meg a Poisson-tétel?
Alatt eseményfolyam A valószínűségszámításban egy adott időpontban egymás után bekövetkező események sorozatát értjük. Példák: hívásfolyam egy telefonközpontban; folyam ajánlott levelek, postára érkezve stb. Általában az áramlást alkotó események eltérőek lehetnek. Ha az események csak bekövetkezésük pillanatában térnek el egymástól, akkor az események áramlását nevezzük homogén.
Az események áramlását szabályosnak nevezzük, ha az események szigorúan meghatározott időközönként követik egymást. Az ilyen áramlás valós rendszerekben viszonylag ritka, de szélsőséges esetként érdekes.
Az eseményfolyam ún helyhez kötött, ha annak a valószínűsége, hogy egy adott számú esemény egy időintervallumba esik, csak az intervallum időtartamától függ, és nem attól függ, hogy ez az intervallum pontosan hol helyezkedik el az időtengelyen.
A gyakorlatban gyakran vannak olyan alkalmazások folyamai, amelyek valószínűségi jellemzői nem függnek az időtől. Például egy városi telefonközpont 12 és 13 óra közötti hívásfolyama vezetékesnek tekinthető. Ugyanazért
Az eseményfolyam ún utóhatás nélküli áramlás, ha bármely nem átfedő időszakra vonatkozóan az egyikben előforduló események száma nem függ a többiben előforduló események számától.
Például a metróállomásra belépő utasok áramlása utóhatás nélküli áramlásnak tekinthető. A metróállomásról kilépő utasok áramlása már nem tekinthető utóhatás nélküli áramlásnak, hiszen az ugyanazon a vonaton érkező utasok kiszállási pillanatai egymástól függenek.
A sorba állító rendszert elhagyó kimeneti adatfolyam (vagy kiszolgált kérések folyama) általában utóhatást okoz, még akkor is, ha a bemeneti adatfolyam nem. Vegyünk például egy egycsatornás sorban állási rendszert, amelyhez
bármely kérés kiszolgálási ideje azonos értékű t kb. Ezután a kiszolgált alkalmazások folyamában az alkalmazások távozása közötti minimális időintervallumot
rendszer, egyenlő lesz t kb. Könnyen belátható, hogy egy ilyen minimális intervallum megléte elkerülhetetlenül utóhatásokhoz vezet. Valóban, ez valamikor legyen tudatában t 1 szervizelt kérés hagyta el a rendszert. Akkor biztosan állíthatjuk, hogy bármely időintervallumban, amelyen belül ( t 1 , t 1 + t kb) ,
egyetlen alkalmazás sem hagyja el a rendszert. Ez azt jelenti, hogy a nem átfedő területeken zajló események száma függ.
Az eseményfolyam ún rendes, ha annak valószínűsége, hogy rövid időn belül két vagy több esemény bekövetkezik, kisebb nagyságrendű, mint egy esemény bekövetkezésének valószínűsége ebben az időszakban. Egy hétköznapi eseményfolyam esetén annak a valószínűsége, hogy egynél több esemény egyidejűleg bekövetkezik, nulla.
A hétköznapi feltétel azt jelenti, hogy a jelentkezések egyenként érkeznek, nem pedig párban, hármasban stb.
Poissonian(a legegyszerűbb) az áramlás olyan áramlás, amely az állóképesség, az utóhatás hiánya és a hétköznapiság tulajdonságaival rendelkezik. A „Poisson” elnevezés annak a ténynek köszönhető, hogy ennél az áramlásnál a tetszőleges időintervallumra eső események száma a Poisson-törvény szerint oszlik el.
A Poisson-folyam különleges szerepet játszik az eseményfolyamatok között, bizonyos mértékig hasonló a normál törvény szerepéhez az egyéb eloszlási törvények között. Bizonyítható, hogy akárcsak nagyszámú független valószínűségi változó összegzésekor, szinte bármilyen eloszlási törvény hatálya alá, a normáltörvény szerint megközelítőleg eloszló értéket kapunk nagyszámú közönséges összegzésekor (kölcsönösen egymásra helyezve). , stacionárius áramlások szinte bármilyen utóhatással, áramlást kapunk, bármennyire is közel áll a Poisson. Az ehhez szükséges feltételek hasonlóak a központi tétel feltételeihez, vagyis az összeadott áramlásoknak megközelítőleg egyenletesen kell hatniuk az összegre.
A helyreállított tárgyakat a javítás után is rendeltetésszerűen használják. A helyreállított objektumok megbízhatóságát általában a meghibásodási folyamat jellemzői alapján értékelik. Általában folyam Az események véletlenszerű időpontokban egymást követő homogén események sorozata. A restaurált objektumok megbízhatóságának elmélete elsősorban az események legegyszerűbb folyamatait veszi figyelembe, amelyekre jellemző hétköznapiság, stacionaritásÉs utóhatás hiánya(ilyen eseményfolyamokkal a gyakorlatban leggyakrabban találkozhatunk).
Az eseményfolyam ún rendes, ha egy időintervallumban két vagy több meghibásodás bekövetkezésének valószínűsége elhanyagolható egy hiba bekövetkezésének valószínűségéhez képest. Így a rendszer meghibásodásai egyenként jelentkeznek.
Az eseményfolyam ún helyhez kötött, ha annak a valószínűsége, hogy egy adott számú esemény egy t időintervallumba esik, csak az intervallum hosszától függ, és nem attól függ, hogy ez az intervallum pontosan hol található a tengelyen. Az események stacionárius áramlása azt jelenti, hogy az áramlási sűrűség állandó. Nyilvánvalóan, ha megfigyeljük, az áramlásban páralecsapódások és ritkák lehetnek. Stacionárius áramlás esetén azonban ezek a kondenzációk és ritkulások nem rendszeresek, és az egységnyi időintervallumra eső események átlagos száma állandó marad a teljes vizsgált időszakban.
Nincs utóhatás a legegyszerűbb eseményfolyamban azt jelenti, hogy az egyetlen időintervallumban bekövetkező meghibásodások valószínűsége nem függ az összes korábbi időintervallumban előforduló hibáktól, azaz a meghibásodások egymástól függetlenül jelentkeznek. Hibaáramlás elektronikus számítástechnikai eszközökben egyenlő az összeggel az egyes eszközök meghibásodási folyamatai. Ha minden egyes áramlás meglehetősen egyenletes és csekély hatással van a teljes áramlásra, akkor a teljes áramlás az lesz a legegyszerűbb.
Legyen a legegyszerűbb hibafolyam a következő tulajdonságokkal.
1. A meghibásodások közötti idő egy exponenciális törvény szerint van elosztva egy bizonyos A, paraméterrel ((4.16)-(4.21) képletek:
Ezért és T 0 - Az első meghibásodásig eltelt idő egy exponenciális törvény szerint van elosztva, ugyanazzal a paraméterrel x(Az első kudarcig eltelt átlagos idő a matematikai elvárás T:
Ilyen körülmények között a meghibásodási arány X(t)állandónak bizonyul:
2. Hagyjuk r(t) - meghibásodások száma az idő múlásával t (r(t) egy valószínűségi változó). Annak a valószínűsége, hogy közben t meg fog történni m hibák meghibásodási arányban X, a Poisson-törvény határozza meg (lásd (4.22)):
3. Meghibásodások átlagos száma az idő múlásával t egyenlő:
4. Annak a valószínűsége, hogy az idő alatt t nem történik hiba, egyenlő: P(t) = e~ i.
A leírt események legegyszerűbb folyamatát is nevezik álló Poisson-áramlás. Mint fentebb említettük, ez a folyamat jellemző az összetett, nagyon megbízható objektumokra.
A visszaállított objektum működési folyamata a helyreállítással összefüggő működőképesség és leállás váltakozó intervallumainak sorozataként írható le. Feltételezzük, hogy az objektum meghibásodását azonnal rögzítjük, és ettől a pillanattól kezdődik a helyreállítási eljárás. A szervizelhetőségi intervallumok (az objektum 100%-os helyreállítását feltételezzük) független és azonos eloszlású valószínűségi változók, és nem függenek a helyreállítási intervallumoktól, amelyek szintén független és azonos eloszlású (valószínűleg eltérő eloszlású) valószínűségi változók. Az intervallumsorozatok mindegyike a maga egyszerű eseményfolyamát alkotja.
Emlékezzünk vissza, hogy a restaurált objektumok esetében a fő jellemző az hibaáramlási paraméter. Az ilyen objektumok működése a következőképpen írható le: az időpont kezdeti pillanatában az objektum működésbe lép, és meghibásodásig működik, meghibásodás után megtörténik a helyreállítás, és az objektum ismét működik a meghibásodásig stb. vezető funkciójaQ(t) egy adott áramlásra, ami a meghibásodások számának időbeli matematikai elvárása 1:
Ahol r(t) - meghibásodások száma az idő múlásával t.
A co(0) hibafolyam paraméter a rövid időintervallumban várható meghibásodások átlagos számát jellemzi, és a (2.9) képlet határozza meg:
A vezető függvényt a hibaáramlási paraméterrel fejezhetjük ki:
Mert álló Poisson áramlások, mint fentebb említettük, a meghibásodási arány állandó érték, és egyenlő X; ebben az esetben egybeesik a hibaáramlási paraméterrel. Valójában egy stacionárius Poisson-áramlás 3. tulajdonsága alapján a hibák átlagos száma r idő alatt egyenlő: K.(t) = M = Xt, ennélfogva,
Meghibásodások közötti átlagidő. Mint már említettük, ez a mutató az üzemidő és az ezen üzemidő alatti meghibásodások számának matematikai elvárásainak aránya. Mivel a hibák stacioner áramlásával M)