Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

На рис.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так называемой «гиперболой Эйлеpa»:

При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности .

Рис.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня

Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

Если из этого неравенства выразить гибкость , то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным , поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большей, чем 100 %

Для стали 5 при формула Эйлера применима при гибкости ; для чугуна — при , для сосны — при и т. д. Если мы на Рис.1 проведем горизонтальную линию с ординатой, равной , то она рассечет гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.

Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести (при пластичном материале) или предела прочности (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 3040, критические напряжения «будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси стержня), соответственно или (сталь), или (чугун, дерево).

Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной величине напряжений (когда ).

Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.

По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории ^ тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.

На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.

Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному:

где а и b — коэффициенты, зависящие от материала, a — гибкость стержня. Для литого железа Ясинский получил: а = 338,7МПа , b = 1,483 МПа . Для стали 3 при гибкостях от = 40 до = 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа ; b = 1,47МПа . Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа ; b = 0,194 МПа.

Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула

Здесь при = 0 считают для пластичного и для хрупкого материала; коэффициент а , подобранный из условия плавного сопряжения с гиперболой Эйлера, имеет значение:

для стали с пределом текучести = 280 МПа а = 0,009 МПа

При наличии приведенных здесь данных может быть построен полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На Рис.2 приведен такой график для строительной стали с пределом текучести и пределом пропорциональности .

Рис.2. Полный график критических напряжений для строительной стали.

График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при, наклонной прямой при и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при . Подобные же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера с результатами экспериментов, и для других материалов.

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:

на прочность

на устойчивость

где

Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь выбрать только коэффициент запаса k .

На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.

Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).

Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.

Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость и допускаемым напряжением на прочность , возьмем их отношение:

Обозначая

здесь — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней.

Имея график зависимости от для данного материала, зная или и выбрав коэффициенты запаса на прочность и на устойчивость , можно составить таблицы значений коэффициента в функции от гибкости. Такие данные приводятся в наших технических условиях на проектирование сооружений; они сведены в таблицу.

Предел прочности

Определённая пороговая величина для конкретного материала, превышение которой приведёт к разрушению объекта под действием механического напряжения. Основные виды пределов прочности: статический, динамический, на сжатие и на растяжение. Например, предел прочности на растяжение - это граничное значение постоянного (статический предел) или переменного (динамический предел) механического напряжения, превышение которого разорвет (или неприемлемо деформирует) изделие. Единица измерения - Паскаль [Па], Н/мм ² = [МПа].

Предел текучести (σ т)

Величина механического напряжения, при которой деформация продолжает увеличиваться без увеличения нагрузки; служит для расчётов допустимых напряжений пластичных материалов.

После перехода предела текучести в структуре металла наблюдаются необратимые изменения: кристаллическая решетка перестраивается, появляются значительные пластические деформации. Вместе с тем происходит самоупрочнение металла и после площадки текучести деформация возрастает при увеличении растягивающей силы.

Нередко этот параметр определяют как «напряжение, при котором начинает развиваться пластическая деформация» , таким образом, отождествляя пределы текучести и упругости. Однако следует понимать, что это два разных параметра. Значения предела текучести превышают предел упругости ориентировочно на 5%.

Предел выносливости или предел усталости (σ R)

Способность материала воспринимать нагрузки, вызывающие циклические напряжения. Этот прочностной параметр определяют как максимальное напряжение в цикле, при котором не происходит усталостного разрушения изделия после неопределенно большого количества циклических нагружений (базовое число циклов для стали Nb = 10 7). Коэффициент R (σ R) принимается равным коэффициенту асимметрии цикла. Поэтому предел выносливости материала в случае симметричных циклов нагружения обозначают как σ -1 , а в случае пульсационных - как σ 0 .

Отметим, что усталостные испытания изделий очень продолжительны и трудоёмки, они включают анализ больших объёмов экспериментальных данных при произвольном количестве циклов и существенном разбросе значений. Поэтому чаще всего используют специальные эмпирические формулы, связывающие предел выносливости с другими прочностными параметрами материала. Наиболее удобным параметром при этом считается предел прочности.

Для сталей предел выносливости при изгибе как правило составляет половину от предела прочности: Для высокопрочных сталей можно принять:

Для обычных сталей при кручении в условиях циклически изменяющихся напряжений можно принять:

Приведённые выше соотношения стоит применять осмотрительно, потому что они получены при конкретных режимах нагружения, т.е. при изгибе и при кручении. Однако, при испытании на растяжение-сжатие предел выносливости становится примерно на 10-20% меньше, чем при изгибе.

Предел пропорциональности (σ)

Максимальная величина напряжения для конкретного материала, при которой ещё действует закон Гука, т.е. деформация тела прямо пропорционально зависит от прикладываемой нагрузки (силы). Обратите внимание, что для множества материалов достижение (но не превышение!) предела упругости приводит к обратимым (упругим) деформациям, которые, впрочем, уже не прямо пропорциональны напряжениям. При этом такие деформации могут несколько «запаздывать» относительно роста или снижения нагрузки.

Диаграмма деформации металлического образца при растяжении в координатах удлинение (Є) - напряжение (σ).

1:Предел абсолютной упругости.

2:Предел пропорциональности.

3:Предел упругости.

Приложенной нагрузке (силе). Следует заметить, что во многих материалах нагружение до предела упругости вызывает обратимые (то есть упругие в общем-то) деформации, но непропорциональные напряжениям. Кроме того эти деформации могут «запаздывать» за ростом нагрузки как при нагружении, так и при разгружении.

Примечание

См. также

• Предел упругости , предел прочности , предел текучести
• ГОСТ 1497-84 МЕТАЛЛЫ. Методы испытаний на растяжение .

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Предел желаний
• Предел упругости

Смотреть что такое "Предел пропорциональности" в других словарях:

Предел пропорциональности - – механическая характеристика материалов: напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между напряжением и деформациями достигает некоторого определенного значения, устанавливаемого техническими условиями. Предел пропорциональности … Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов

ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ - наибольшее напряжение, до которого соблюдается закон пропорциональности между напряжением и деформацией при переменной нагрузке. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 … Морской словарь

предел пропорциональности - Механическое напряжение, при нагружении до которого деформации возрастают пропорционально напряжениям (выполняется закон Гука). Единица измерения Па [Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и… … Справочник технического переводчика

ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ - механич. хар ка материалов: напряжение, при к ром отступление от линейной зависимости между напряжениями и деформациями достигает нек рого определ. значения, устанавливаемого технич. условиями (напр., увеличение тангенса угла, образов,… … Большой энциклопедический политехнический словарь

Предел пропорциональности - Proportional limit Предел пропорциональности. Максимальное напряжение, в металле, при котором не нарушается прямо пропорциональная зависимость между напряжением и деформацией. См. также Hooke s law Закон Гука и Elastic limit Предел упругости.… … Словарь металлургических терминов

предел пропорциональности - условное напряжение, соответствующее точке перехода от линейного участка кривой «напряжение деформация» к криволинейному (от упругой к пластической деформации). Смотри также: Предел физический предел текучести … Энциклопедический словарь по металлургии

Предел пропорциональности - наибольшее напряжение при испытаниях на одноосное растяжение (сжатие), до которого сохраняется прямая пропорциональность между напряжениями и деформациями и при котором отступление от линейной зависимости между ними достигает того малого значения … Строительный словарь

ПРЕДЕЛ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ - условное напряжение, соответствующее точке перехода от линейного участка кривой "напряжение деформация" к криволинейному (от упругой к пластическое деформации) … Металлургический словарь

Предел пропорциональности s пц - Напряжение, при котором отступление от линейной зависимости между усилием и удлинением достигает такой величины, что тангенс угла наклона, образованного касательной к кривой «усилие удлинение» в точке Рпц с осью усилий увеличивается на 50 % от… …

Предел пропорциональности при кручении - 2. Предел пропорциональности при кручении касательное напряжение в периферийных точках поперечного сечения образца, вычисленное по формуле для упругого кручения, при котором отклонение от линейной зависимости между нагрузкой и углом закручивания… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что напряжения центрального сжатия, возникающие в поперечных сечениях стержня от действия критической силы а кр = Р /F, не превышают предел пропорциональности материала о пц. Если это условие не выполняется, то при определении критической силы нельзя пользоваться законом Гука, в предположении справедливости которого получено исходное дифференциальное уравнение (13.2). Таким образом, условие применимости формулы Эйлера в общем случае имеет вид

Обозначим через А, значение гибкости, при котором а ко = о пи:

Тогда условие применимости формулы Эйлера (13.16) можно представить в виде

Величина определяемая по формуле (13.17), называется предельной гибкостью. Стержни, для которых выполняется условие (13.18), называются стержнями большой гибкости.

Как видно из формулы (13.17), предельная гибкость зависит от свойств материала: модуля упругости и предела пропорциональности. Так как для стали Е = 2,1 10 5 МПа, то А, зависит от величины о пц, то есть от марки стали. Например, у некоторых распространенных в строительных конструкциях сталей марки ВСтЗ величина о пц составляет 200н-210 МПа, и по формуле (13.17) получается Aj = 100. Таким образом, для сталей указанных марок условием применимости формулы Эйлера можно считать

Величина предельной гибкости для дерева может быть принята Aj = 70; для чугуна = 80.

Теоретическое определение критических нагрузок при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала, достаточно сложно. В то же время имеется большое число экспериментальных исследований устойчивости стержней, работающих за пределом пропорциональности материала. Эти исследования показали, что при а кр о пц наблюдается значительное расхождение между экспериментальными и теоретическими значениями критических сил, вычисленных по формуле Эйлера. При этом формула Эйлера всегда дает завышенное значение критической силы.

На основании опытных данных различными авторами были предложены эмпирические формулы для вычисления критических напряжений за пределом пропорциональности материала. Наиболее простой является линейная зависимость, предложенная в начале XX века немецким ученым Л. Тетмайером и независимо от него профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф.С. Ясинским:

где а и b - эмпирические коэффициенты, зависящие от свойств материала стержня и имеющие размерность напряжения.

Для стали марки ВСтЗ с пределом пропорциональности а пц = 200 МПа и пределом текучести а т = 240 МПа получено а = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Для некоторых материалов при Х используются нелинейные зависимости. Так, например, для дерева (сосна, ель, лиственница) при X

Для чугуна при X

Формулой Тетмайера - Ясинского (13.20) можно пользоваться при условии, что критические напряжения, вычисленные по этой формуле, не превосходят предел текучести о т для пластичного материала и предел прочности при сжатии о вс для хрупкого материала. Обозначив в формуле (13.20) через Х 2 то значение гибкости, при котором а = а для пластичного или о = а для хрупкого

кр т кр вс

материала, можно записать условие применимости формулы Тет- майера - Ясинского в виде

где Л, определяется по формуле (13.17).

Стержни, для которых выполняется условие (13.23), называются стержнями средней гибкости.

С учетом приведенных выше значений о т,йи1) для стали марки ВСтЗ по формуле (13.20) получим Х 2 ~ 60, и условие (13.23) примет следующий вид

Стержни, у которых X называются стержнями малой гибкости. Они могут разрушиться не в результате потери устойчивости, а в результате потери прочности при центральном сжатии. В таком случае для стержней малой гибкости из пластичного и хрупкого материалов следует соответственно принять

На рис. 13.8 изображен график зависимости критических напряжений от гибкости для стали марки ВСтЗ с пределом пропорциональности а пц = 200 МПа и пределом текучести а т = 240 МПа. При X > 100 график о АХ) представляется гиперболой Эйлера ЛВ,

при 60 X ВС, при 0 X 60 - горизонтальной прямой CD. Для значений X 100 гипербола Эйлера изображена пунктирной линией. Из этого графика видно, что для стержней средней и малой гибкости формула Эйлера дает сильно завышенные значения критических напряжений.

Для стержней из пластичного материала при критических напряжениях ст, X величи- ну ст можно также определить с помощью квадратичной зависи-

где A,j - предельная гибкость, определяемая по формуле (13.17). График приведенной зависимости изображен на рис. 13.8 кривой BC { D, которая незначительно отклоняется от ломанной BCD.

Формулы, выведенные в § 2.13, справедливы только тогда, когда напряжения в материале, вызванные критической силой, не превышают предела пропорциональности, т.е. когда Это следует из того, что в основу вывода формул положено дифференциальное уравнение упругой линии, которым можно пользоваться лишь в пределах применимости закона Гука.

Подставляем в условие окрапц значение окр по формуле (13.13):

Из этого уравнения

(14.13)

Правая часть выражения (14.13) представляет собой то наименьшее значение гибкости стержня, при котором формула Эйлера еще применима, - это так называемая предельная гибкость :

Предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня - его модуля упругости и предела пропорциональности.

Условие (14.13) применимости формул Эйлера с учетом выражения (15.13) можно представить в виде

Итак, формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня применима при условии, что его гибкость больше предельной.

Приведем значение для различных материалов.

Для стали и, следовательно,

Для дерева для чугуна Для стали с повышенным значением предельная гибкость уменьшается по выражению (15.13). В частности, для некоторых марок легированной стали .

При гибкости стержня, меньшей предельной, критическое напряжение, если определять его по формуле Эйлера, получается выше предела пропорциональности сгпц. Так, например, при гибкости стального стержня (из стали ) по формуле (13.13)

т.е. величина значительно больше не только предела пропорциональности, но также предела текучести и предела прочности (временного сопротивления).

Действительные критические силы и критические напряжения для стержней, гибкость которых ниже предельной, значительно меньше величин, определяемых по формуле Эйлера. Для таких стержней критические напряжения определяются по эмпирическим формулам.

Профессор Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. С. Ясинский предложил эмпирическую формулу критических напряжений для стержней, имеющих гибкость Я, меньшую предельной

(17.13)

где а и b - определяемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали

Формула (17.13) применима для стержней из малоуглеродистой стали при гибкости При гибкости напряжение считается примерно постоянным и равным пределу текучести.