A gyakorlatban meglehetősen gyakori az egycsatornás orvosi szolgáltatások sorban állása (a betegeket kiszolgáló orvos; egy fülkés telefontelefon; a felhasználói parancsokat végrehajtó számítógép). A sorelméletben az egycsatornás, soros QS-ek is kiemelt helyet foglalnak el (a nem Markov rendszerekre eddig kapott analitikai képletek többsége ilyen QS-hez tartozik). Ezért kiemelt figyelmet fordítunk az egycsatornás, soros QS-re.
Legyen egy egycsatornás QS olyan sorral, amelyre nincs korlátozás (sem a sor hosszára, sem a várakozási időre). Ez a QS X intenzitású alkalmazások folyamát fogadja; a szolgáltatások áramlásának intenzitása a kérés átlagos kiszolgálási idejének fordítottja. Meg kell találni a QS állapotok végső valószínűségét, valamint hatékonyságának jellemzőit:
Az alkalmazások átlagos száma a rendszerben,
Egy alkalmazás átlagosan a rendszerben maradási ideje,
A sorban álló alkalmazások átlagos száma,
Az átlagos idő, ameddig egy alkalmazás sorban áll,
Annak valószínűsége, hogy a csatorna foglalt (csatornaterhelés).
Ami az abszolút A-t és a relatív Q-t illeti, ezeket nem kell kiszámítani: a sor korlátlansága miatt minden kérés előbb-utóbb kiszolgálásra kerül, tehát ugyanazon okból.
Megoldás. Mint korábban, a rendszer állapotait a QS-ben lévő alkalmazások száma szerint számozzuk:
A csatorna ingyenes
A csatorna foglalt (kérést teljesít), nincs sor,
A csatorna foglalt, egy kérés van sorban,
A csatorna foglalt, az alkalmazások sorban állnak,
Elméletileg az állapotok száma korlátlan (végtelen). Az állapotgráf alakja az ábrán látható. 20.2. Ez a halál és szaporodás rendszere, de végtelen számú állapottal. Az összes nyíl mentén az A intenzitású kérések áramlása balról jobbra mozgatja a rendszert, és jobbról balra - a szolgáltatások áramlását intenzitással
Először is tegyük fel magunknak a kérdést, hogy ebben az esetben vannak-e végső valószínűségek? Hiszen a rendszer állapotainak száma végtelen, és elvileg korlátlanul nőhet a sor! Igen, ez így van: egy ilyen QS végső valószínűsége nem mindig létezik, de csak akkor, ha a rendszer nincs túlterhelve. Bizonyítható, hogy ha szigorúan kevesebb, mint egy, akkor fennállnak a végső valószínűségek, és amikor a sor korlátlanul nő. Ez a tény különösen akkor tűnik „érthetetlennek”, amikor úgy tűnik, hogy nem támasztanak lehetetlen követelményeket a rendszerrel szemben: egy alkalmazás kiszolgálása során átlagosan egy alkalmazás érkezik, és mindennek rendben kell lennie, de a valóságban nem így van.
A QS-nél csak akkor birkózik meg a kérések áramlásával, ha ez szabályos, és a szolgáltatási idő sem véletlenszerű, egyenlő a kérések közötti időközzel. Ebben az „ideális” esetben egyáltalán nem lesz sorban állás, a csatorna folyamatosan foglalt lesz, és rendszeresen fog kiszolgált kéréseket kiadni. De amint az alkalmazások vagy a szolgáltatások áramlása egy kicsit is véletlenszerűvé válik, a sor a végtelenségig nő. A gyakorlatban ez nem csak azért történik meg, mert „végtelen számú alkalmazás a sorban” absztrakció. Ezek azok a durva hibák, amelyek abból adódhatnak, ha a valószínűségi változókat helyettesítjük a matematikai elvárásaikkal!
De térjünk vissza az egycsatornás QS-hez, ahol nem korlátozott sor. Szigorúan véve a halál és szaporodás sémájában szereplő végső valószínűségek képleteit csak véges sok állapot esetén vezettük le, de tegyük meg a bátorságot, hogy végtelen sok állapotra használjuk. Számítsuk ki az állapotok végső valószínűségét a (19.8), (19.7) képletekkel! Esetünkben a (19.8) képlet tagjainak száma végtelen lesz. Kapunk egy kifejezést
A (20.11) képlet sorozata egy geometriai progresszió. Tudjuk, hogy a sorozat konvergál – ez egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió nevezővel. -nél a sorozat eltér (ami közvetett, bár nem szigorú bizonyítéka annak, hogy az állapotok végső valószínűsége csak a -nál létezik). Most tegyük fel, hogy ez a feltétel teljesül, és a (20.11) progresszióját összegezve megkaptuk
(20.12)
A valószínűségeket a következő képletekkel határozzuk meg:
ahonnan (20.12) figyelembe véve végül megtaláljuk:
Amint látja, a valószínűségek geometriai progressziót alkotnak a nevezővel. Furcsa módon ezek közül a maximum annak a valószínűsége, hogy a csatorna egyáltalán szabad lesz. Nem számít, mennyire terhelt egy rendszer egy sorral, ha egyáltalán képes megbirkózni az alkalmazások áramlásával, akkor a rendszerben lévő alkalmazások legvalószínűbb száma 0 lesz.
Nézzük meg a KGST-hez benyújtott kérelmek átlagos számát. Itt kell bütykölni egy kicsit. A Z valószínűségi változó - az alkalmazások száma a rendszerben - lehetséges értékeket tartalmaz valószínűségekkel
A matematikai elvárása az
(20.14)
(az összeget nem 0-tól, hanem 1-től vesszük, mivel a nulla tag egyenlő nullával).
Helyettesítsük be a (20.14) képletbe a kifejezést
Most vegyük ki az összegjelet:
Itt ismét egy „kis trükköt” fogunk alkalmazni: nincs más, mint a pórus származéka a kifejezés jelentése:
A differenciálás és az összegzés műveleteit megfordítva a következőket kapjuk:
De a (20.15) képletben szereplő összeg nem más, mint egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege az első taggal és nevezővel; ez az összeg egyenlő és származéka. Ezt a kifejezést (20.15) behelyettesítve a következőt kapjuk:
(20.16)
Nos, most alkalmazzuk Little képletét (19.12), és keressük meg, hogy egy alkalmazás átlagosan mennyi ideig marad a rendszerben:
Határozzuk meg a sorban lévő alkalmazások átlagos számát A következőképpen érvelünk: a sorban lévő alkalmazások száma a rendszerben lévő alkalmazások számával mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások számával. Ez azt jelenti (a matematikai elvárások összeadásának szabálya szerint), hogy a sorban lévő alkalmazások átlagos száma megegyezik a rendszerben lévő alkalmazások átlagos számával, mínusz a szolgáltatás alatt lévő alkalmazások átlagos számával. A szolgáltatás alatt lévő kérések száma lehet nulla (ha a csatorna szabad) vagy egy (ha foglalt). Egy ilyen valószínűségi változó matematikai elvárása megegyezik annak valószínűségével, hogy a csatorna foglalt (jelöltük). Nyilvánvaló, hogy ez egyenlő eggyel mínusz annak a valószínűsége, hogy a csatorna szabad;
Ezért a szolgáltatás alatti kérések átlagos száma a
Nézzünk most egy egycsatornás QS-t várakozással.
A sorban állási rendszer egycsatornás. A bejövő szolgáltatási kérelmek intenzitása λ. A szolgáltatásfolyam intenzitása μ (azaz átlagosan egy folyamatosan foglalt csatorna μ kiszolgált kérést ad ki). A szolgáltatás időtartama egy véletlen változó, amelyre az exponenciális eloszlási törvény vonatkozik. A csatorna foglalt állapotában kapott kérés sorban áll, és szolgáltatásra vár.
Fontolja meg a rendszert korlátozott sor. Tegyük fel, hogy bármennyi igény érkezik a szolgáltató rendszer bemenetére, ezt a rendszert(sor + kiszolgált ügyfelek) nem fér el több mint N-követelmények (pályázatok), amelyek közül egyet kiszolgálnak, és ( N-1) várakoznak, a várakozási időn kívüli ügyfeleket máshol kell kiszolgálni, és az ilyen jelentkezések elvesznek.
Jelöljük azt a valószínűséget, amelyet a rendszer tartalmaz n alkalmazások. Ezt az értéket a következő képlet számítja ki:
Itt van a csökkentett áramlási intenzitás. Ekkor annak a valószínűsége, hogy a szolgáltatási csatorna szabad, és nincs egyetlen kliens sem a rendszerben, egyenlő: 
.
Ezt figyelembe véve jelölhetjük
Határozzuk meg egy (N-1) egycsatornás, várakozással és korlátozott sorhosszúságú QS jellemzőit:
a kérelem kézbesítésének visszautasításának valószínűsége:
relatív rendszerkapacitás:
abszolút áteresztőképesség:
A=q∙λ;
átlagos alkalmazások száma a rendszerben:
Átlagos idő, ameddig egy alkalmazás a rendszerben marad:
;
az ügyfél (jelentkezés) átlagos sorbanállási ideje:
W q=W s- 1/μ;
a sorban lévő alkalmazások (kliensek) átlagos száma (sorhossz):
Lq=λ(1- P N)W q.
Nézzünk egy példát egy egycsatornás QS-re várakozással.
Példa 9.2. A zónába vámellenőrzés Az ellenőrző ponton az autók elektronikus sorrendszerrel lépnek be. Minden érkezési/indulási ablak egycsatornás QS. A regisztrációra váró autók parkolóinak száma korlátozott és 3, azaz ( N-1)=3. Ha minden parkoló foglalt, azaz már három autó áll a sorban, akkor a következő autót nem engedik be a vámellenőrzési zónába, pl. Nincs sorban állás a szolgáltatásért. A regisztrációra érkező autók áramlása intenzív λ =0,85 (járművek óránként). Az autó regisztrációs ideje exponenciális törvény szerint oszlik meg, és átlagosan = 1,05 óra. Álló üzemmódban működő ellenőrzőponton meg kell határozni az érkezés/indulás regisztrációs ablak valószínűségi jellemzőit.
Megoldás.
A jármű szervizáramlásának intenzitása:
.
A forgalom csökkentett intenzitását a λ és μ intenzitások arányaként határozzuk meg, azaz.
.
Számítsuk ki a megtalálás valószínűségét P alkalmazások a rendszerben:
;
P 1 =ρ∙ P 0 =0,893∙0,248=0,221;
P 2 =ρ 2 ∙ P 0 =0,893 2 ∙0,248=0,198;
P 3 =ρ 3 ∙ P 0 =0,893 3 ∙0,248=0,177;
P 4 =ρ 4 ∙ P 0 =0,893 4 ∙0,248=0,158.
Az autószerviz meghibásodásának valószínűsége:
P nyitva=R 4 = ρ 4 ∙ P 0 ≈0,158.
A tervezési ablak relatív sávszélessége:
q=1–P nyitva=1-0,158=0,842.
A tervezési ablak abszolút teljesítménye
A=λ∙ q=0,85∙0,842=0,716 (járművek óránként).
A szervizelt és sorban álló (vagyis a sorban állási rendszerben) autók átlagos száma:
.
Egy autó átlagosan a rendszerben marad:
órák.
Átlagos időtartam, ameddig egy kérés a szolgáltatás sorban áll:
W q=W s-1/μ=2,473-1/0,952=1,423 óra.
A sorban lévő alkalmazások átlagos száma (a sor hossza):
L q =λ∙(1-P N)∙W q = 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.
A vizsgált regisztrációs ablak teljesítménye kielégítőnek mondható, mivel átlagosan az esetek 15,8%-ában nincs szervizelve ( R nyitott=0,158).
BAN BEN kereskedelmi tevékenység Gyakoribbak a várakozással (sorbanállással) rendelkező sorrendszerek.
Tekintsünk egy egyszerű egycsatornás QS-t korlátozott sorral, amelyben az m sorban lévő helyek száma fix érték. Következésképpen az olyan időpontban beérkezett kérelmet, amikor a sorban lévő összes hely foglalt, nem fogadják el, nem csatlakozik a sorhoz, és elhagyja a rendszert.
Ennek a QS-nek a grafikonja az ábrán látható. 3.4 és egybeesik az ábra grafikonjával. 2.1, amely a „születés-halál” folyamatát írja le, azzal a különbséggel, hogy csak egy csatorna jelenlétében.
A szolgáltatás „születés-halál” folyamatának feliratozott grafikonja minden szolgáltatásfolyam intenzitása egyenlő
A QS állapotai a következőképpen ábrázolhatók:
S0 - a szolgáltatási csatorna ingyenes,
S, - a szolgáltatási csatorna foglalt, de nincs sor,
S2 - a szolgáltatási csatorna foglalt, egy kérés van a sorban,
S3 - a szolgáltatási csatorna foglalt, két kérés van a sorban,
Sm+1 - a szolgáltatási csatorna foglalt, a sorban mind az m hely foglalt, minden további kérést elutasít.
Leíráshoz véletlenszerű folyamat A QS használhatja a korábban megadott szabályokat és képleteket. Írjunk olyan kifejezéseket, amelyek meghatározzák az állapotok korlátozó valószínűségét:
A p0 kifejezést ebben az esetben egyszerűbben is felírhatjuk úgy, hogy a nevezőben p-hez viszonyított geometriai progresszió van, majd megfelelő transzformációk után megkapjuk:
c= (1- s)
Ez a képlet minden 1-től eltérő p-re érvényes, de ha p = 1, akkor p0 = 1/(m + 2), és minden más valószínűség is egyenlő 1/(m + 2).
Ha feltételezzük, hogy m = 0, akkor az egycsatornás, várakozással járó QS-ről a már figyelembe vett egycsatornás szolgáltatásmegtagadásos QS-re lépünk.
Valójában a p0 határvalószínűség kifejezése m = 0 esetben a következőképpen alakul:
po = m / (l+m)
És l = m esetben p0 = 1/2 értéke van.
Határozzuk meg a várakozással járó egycsatornás QS főbb jellemzőit: a relatív és abszolút átviteli sebességet, a meghibásodás valószínűségét, valamint az átlagos sorhosszt és az átlagos várakozási időt egy alkalmazásra a sorban.
Egy alkalmazás elutasításra kerül, ha olyan időpontban érkezik, amikor a QS már Sm+1 állapotban van, és ezért a sorban minden hely foglalt, és egy csatorna szolgál.
Ezért a meghibásodás valószínűségét az előfordulás valószínűsége határozza meg
Az Sm+1 kimondja:
Ptk = pm+1 = сm+1 * p0
A relatív átviteli sebességet vagy az időegység alatt érkező kiszolgált kérések arányát a kifejezés határozza meg
Q = 1- rotk = 1- cm+1 * p0
az abszolút áteresztőképesség:
A szolgáltatási sorban lévő L alkalmazások átlagos számát a k valószínűségi változó matematikai elvárása határozza meg - a sorban lévő alkalmazások száma
A k valószínűségi változó csak a következő egész értékeket veszi fel:
- 1 - egy alkalmazás van a sorban,
- 2 - két alkalmazás van a sorban,
t-a sorban lévő összes hely foglalt
Ezen értékek valószínűségét az állapotok megfelelő valószínűségei határozzák meg, az S2 állapottól kezdve. A diszkrét k valószínűségi változó eloszlási törvénye a következő:
1. táblázat: Egy diszkrét valószínűségi változó eloszlási törvénye
Ennek a valószínűségi változónak a matematikai elvárása:
Loch = 1* p2 +2* p3 +...+ m* pm+1
Általános esetben, p ?
Loch = p2 * 13:00 * (m-m*p+1)* p0
Abban a speciális esetben, amikor p = 1, amikor minden pk valószínűség egyenlő, használhatja a kifejezést a numerikus sorozat tagjainak összegére.
1+2+3+ m = m(m+1)
Ezután megkapjuk a képletet
L"och= m(m+1)* p0 = m(m+1)(p=1).
Hasonló érveléssel és transzformációkkal kimutatható, hogy a sorban lévő kérések kiszolgálásának átlagos várakozási idejét Little képletei határozzák meg.
Pont = Loch/A (p? 1-nél) és T1och= L"och/A (p = 1-nél).
Ez az eredmény, amikor kiderül, hogy Toc ~ 1/l, furcsának tűnhet: az alkalmazások áramlásának intenzitásának növekedésével a várakozási sor hossza nőni látszik és az átlagos várakozási idő csökken. Mindazonáltal szem előtt kell tartani, hogy egyrészt a Loch értéke l és m függvénye, másrészt a szóban forgó QS korlátozott várakozási sor hossza legfeljebb m alkalmazás.
A QS által akkor érkezett kérelmet, amikor minden csatorna foglalt, a rendszer elutasítja, ezért a QS-ben a „várakozási” ideje nulla. Ez általános esetben (p? 1 esetén) a Tochromost l csökkenéséhez vezet, mivel az ilyen kérések aránya l növekedésével növekszik.
Ha felhagyunk a sorhossz korlátozásával, pl. közvetlen m--> >?, majd esetek p< 1 и р?1 начинают существенно различаться. Записанные выше формулы для вероятностей состояний преобразуются в случае р < 1 к виду
Ha k kellően nagy, a pk valószínűség nullára hajlik. Ezért a relatív átviteli sebesség Q = 1, az abszolút átviteli sebesség pedig egyenlő lesz: A --l Q -- l Ezért minden bejövő kérést kiszolgálnak, és a sor átlagos hossza egyenlő lesz:
Loch = p2 1-p
és az átlagos várakozási idő Little képlete szerint
Pont = Loch/A
A határban p<< 1 получаем Точ = с / м т.е. среднее время ожидания быстро уменьшается с увеличением интенсивности потока обслуживания. В противном случае при р? 1 оказывается, что в СМО отсутствует установившийся режим. Обслуживание не успевает за потоком заявок, и очередь неограниченно растет со временем (при t >?). Az állapotok határvalószínűsége tehát nem határozható meg: Q = 1 esetén nullával egyenlő. Valójában a QS nem tölti be funkcióit, mivel nem képes minden bejövő alkalmazást kiszolgálni.
Nem nehéz megállapítani, hogy a kiszolgált alkalmazások aránya, illetve az abszolút átviteli sebesség átlagosan c, illetve m, azonban a sor korlátlan növekedése, és így a benne lévő várakozási idő is oda vezet, hogy bizonyos idő elteltével az alkalmazások meghatározatlan hosszú ideig kezdenek gyűlni a sorban.
A QS egyik jellemzőjeként az alkalmazás QS-ben való tartózkodásának átlagos Tsmo idejét használják, beleértve az átlagos sorban állási időt és az átlagos szolgáltatási időt. Ezt az értéket Little képleteivel számítjuk ki: ha a sor hossza korlátozott, akkor a sorban lévő alkalmazások átlagos száma egyenlő:
Lsmo= m+1;2
Tsmo= Lsmo; p?1
Ezután az átlagos idő, ameddig egy kérés a sorban állási rendszerben marad (mind a sorban, mind a szolgáltatás alatt), egyenlő:
Tsmo= m+1 p = 1 2m
A sorbanállási rendszer működése vagy hatékonysága a következő.Mert QS hibákkal:
Mert SMO korlátlan várakozással mind az abszolút, mind a relatív átvitel értelmét veszti, mivel minden bejövő kérést előbb-utóbb kiszolgálnak. Egy ilyen QS esetében a fontos mutatók a következők:
Mert Vegyes típusú QS Mindkét mutatócsoportot használjuk: mind a relatív, mind a abszolút áteresztőképesség, és az elvárás jellemzői.
A sorbaállítási művelet céljától függően a megadott mutatók (vagy mutatókészletek) bármelyike kiválasztható hatékonysági kritériumként.
Analitikai modell A QS egyenlet- vagy képletkészlet, amely lehetővé teszi a rendszerállapotok valószínűségének meghatározását működése során, és teljesítménymutatók kiszámítását a bejövő áramlási és szolgáltatási csatornák ismert jellemzői alapján.
Egy tetszőleges QS-hez nincs általános analitikai modell. Analitikai modelleket fejlesztettek ki a QS korlátozott számú speciális esetére. Azok az analitikai modellek, amelyek többé-kevésbé pontosan tükrözik a valós rendszereket, általában bonyolultak és nehezen vizualizálhatók.
Egy QS analitikus modellezését nagyban megkönnyíti, ha a QS-ben előforduló folyamatok markoviak (a kérések áramlása egyszerű, a kiszolgálási idők exponenciálisan oszlanak el). Ebben az esetben a QS-ben minden folyamat leírható közönséges differenciálegyenletekkel, határoló esetben stacionárius állapotokra lineáris algebrai egyenletekkel, és ezek megoldása után meghatározhatók a kiválasztott hatékonysági mutatók.
Nézzünk példákat néhány QS-re.
2.5.1. Többcsatornás QS hibákkal
2.5. példa. Három közlekedési felügyelő ellenőrzi fuvarlevelek sofőröktől teherautók. Ha legalább egy ellenőr szabad, az elhaladó kamiont leállítják. Ha minden ellenőr elfoglalt, a teherautó megállás nélkül elhalad mellette. A teherautók áramlása egyszerű, az ellenőrzési idő véletlenszerű, exponenciális eloszlású.
Ez a helyzet egy háromcsatornás QS-vel modellezhető, hibákkal (nincs sor). A rendszer nyílt hurkú, homogén kérésekkel, egyfázisú, abszolút megbízható csatornákkal.
Az állapotok leírása:
Minden ellenőr ingyenes;
Az egyik felügyelő elfoglalt;
Két ellenőr elfoglalt;
Három felügyelő elfoglalt.
A rendszerállapot grafikonja a ábrán látható. 2.11.
Rizs. 2.11.
A grafikonon: - teherautó-áramlás intenzitása; - az okmányellenőrzés intenzitása egy közlekedési ellenőr által.
A szimulációval meghatározzák a járművek azon részét, amelyet nem vizsgálnak meg.
Megoldás
A valószínűség szükséges része mindhárom ellenőr alkalmazásának valószínűsége. Mivel az állapotgráf egy tipikus „halál és szaporodás” sémát reprezentál, a (2.2) függőségek használatával fogjuk megtalálni.
Ennek a forgalmi ellenőri állásnak az áteresztőképessége jellemezhető relatív áteresztőképesség:
2.6. példa. A felderítő csoport jelentéseinek fogadására és feldolgozására három tisztből álló csoportot jelöltek ki az egyesület hírszerzési osztályán. A bejelentések áramlásának várható intenzitása óránként 15 bejelentés. Egy tiszt általi egy jelentés feldolgozásának átlagos ideje . Minden tiszt bármely felderítő csoporttól kaphat jelentést. A felmentett tiszt az utolsó beérkezett jelentést dolgozza fel. A beérkező jelentéseket legalább 95%-os valószínűséggel kell feldolgozni.
Határozza meg, hogy a három tisztből álló csapat elegendő-e a kijelölt feladat elvégzéséhez.
Megoldás
A tisztek egy csoportja három csatornából álló KPSZ-ként működik kudarcokkal.
Jelentések áramlása intenzitással 
a legegyszerűbbnek tekinthető, mivel több felderítő csoport összessége. A szolgáltatás intenzitása 
. Az elosztási törvény ismeretlen, de ez nem fontos, mivel kimutatták, hogy a meghibásodott rendszerek esetében ez tetszőleges lehet.
A QS állapotainak leírása és állapotgráfja hasonló lesz a 2.5. példában leírtakhoz.
Mivel az állapotgráf egy „halál és szaporodás” séma, kész kifejezések vannak rá az állapot korlátozó valószínűségére:
A hozzáállás az ún az alkalmazások áramlásának adott intenzitása. Fizikai jelentése a következő: az érték a QS-hez érkező kérések átlagos számát jelenti egy kérés átlagos kiszolgálási ideje alatt.
A példában 
.
A szóban forgó QS-ben hiba akkor következik be, ha mindhárom csatorna foglalt, azaz. Akkor:
Mert a kudarc valószínűsége a jelentések feldolgozásában több mint 34% (), akkor szükséges a csoport létszámának növelése. Duplázzuk meg a csoport összetételét, vagyis a KGSZ-nek mostantól hat csatornája lesz, és számítsuk ki:
Így csak egy hat tisztből álló csoport tudja majd 95%-os valószínűséggel feldolgozni a beérkező jelentéseket.
2.5.2. Többcsatornás QS várakozással
Példa 2.7. A folyó átkelő szakaszán 15 hasonló átkelő található. Az átkelőhelyre érkező eszközök áramlása átlagosan 1 egység/perc, egy eszközegység áthaladásának átlagos ideje 10 perc (beleértve az átkelő jármű visszatérését is).
Értékelje az átkelés fő jellemzőit, beleértve az azonnali átkelés valószínűségét a felszerelési egység megérkezésekor.
Megoldás
Abszolút áteresztőképesség, azaz minden, ami az átkelőhöz közelít, gyakorlatilag azonnal átkel.
A működő átkelőhelyek átlagos száma:
Kompkihasználtság és leállási díjak:
A példa megoldására programot is fejlesztettek. Feltételezzük, hogy a berendezésnek az átkelőhelyre érkezési időintervallumát és az átkelés idejét egy exponenciális törvény szerint oszlik meg.
Az átkelő kihasználtsága 50 futás után közel azonos: 
.
A sor maximális hossza 15 egység, az átlagos sorban eltöltött idő körülbelül 10 perc.
A QS szolgáltatás célja. Az online számológép az egycsatornás QS alábbi mutatóinak kiszámítására szolgál:- a csatorna meghibásodásának valószínűsége, a szabad csatorna valószínűsége, abszolút áteresztőképesség;
- relatív áteresztőképesség, átlagos szolgáltatási idő, átlagos csatornaleállás.
Utasítás. Az ilyen problémák online megoldásához válassza ki a QS modellt. Adja meg keresletáramlás intenzitása λÉs szolgáltatási áramlás intenzitása μ. Korlátozott sorhosszúságú egycsatornás QS esetén megadhatja sor hossza m, egycsatornás QS esetén pedig korlátlan sor- a sorban lévő alkalmazások száma (a sorban állás valószínűségének kiszámításához). lásd példa megoldás. . Az így kapott megoldás egy Word fájlba kerül mentésre.
Az egycsatornás sorbanállási rendszerek osztályozása
1. példa. Az autó benzinkútnál van egy benzinkút. Feltételezhető, hogy legegyszerűbb áramlás autók λ=11 kocsi/óra intenzitással érkeznek az állomásra. A kérés kiszolgálási ideje egy valószínűségi változó, amely egy exponenciális törvénynek engedelmeskedik a μ=14 jármű/óra paraméterrel. Határozza meg az állomáson lévő autók átlagos számát!
2. példa. A gépek megelőző ellenőrzését egy ellenőrző csoporttal érdemes elvégezni. Átlagosan 0,4 órát vesz igénybe az egyes gépek ellenőrzése és hibáinak azonosítása. Naponta átlagosan 328 autót küldenek átvizsgálásra. A kérések és szolgáltatások áramlása a legegyszerűbb. Ha az átvizsgálási pontra érkező autó nem talál szabad csatornát, akkor szervizeletlenül hagyja el az átvizsgálási pontot. Határozza meg a megelőző ellenőrzési pont állapotainak és karbantartási jellemzőinek korlátozó valószínűségét.
Megoldás. Itt α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Ezeket az adatokat be kell írni a számológépbe.