Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ о ] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10 5 МПа.
Решение
1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.
Условие прочности при кручении:
Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
Значения подставляем в ньютонах и мм.
Определяем диаметр вала:
2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.
Условие жесткости при кручении:
Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
Определяем диаметр вала:
3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.
Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.
Полученное значение следует округлить, используя ряд предпочтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d вала = 75 мм.
Для определения диаметра вала желательно пользоваться стандартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.
Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τ тах = 40 Н/мм 2 . Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.
Решение
б . Очевидно,
Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d 0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм 2 . Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.
Решение
Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в . Очевидно,
Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d 0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент М z = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.
Решение
Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
В рассматриваемом примере М z = 3 кН-м = 3-10 6 Н мм,
Пример 5. Стальная труба (d 0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т , приложенными в ее торцевых сечениях. Определить величину т , при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.
Решение
Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
В данном случае
Подставляя числовые значения, получаем
Вычисляем максимальные касательные напряжения:
Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а ) построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, углов поворота поперечных сечений.
Решение
Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скручивающие) моменты и места изменения размеров поперечного сечения.
Пользуясь соотношением
строим эпюру крутящих моментов.
Построение эпюры М z начинаем со свободного конца бруса:
для участков III и IV
для участка V
Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б . Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I
на участке II
на участке III
на участке IV
на участке V
Эпюра максимальных касательных напряжений показана на рис. 2.38, в .
Угол поворота поперечного сечения бруса при постоянных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле
Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.
Эпюра углов поворота поперечных сечений изображена на рис. 2.38, г .
Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности N A = 15 кВт и N C = 21 кВт. Частота вращения вала п = 300 об/мин. Проверить прочность и жесткость вала, если [τ K J = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 , d 1 = 45 мм, d 2 = 50 мм.
Решение
Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответствующий N А, положительным, N c - отрицательным. Эпюра M z показана на рис. 2.39, б . Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ
что меньше [т к ] на
Относительный угол закручивания участка АВ
что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
что меньше [т к ] на
Относительный угол закручивания участка ВС
что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
Следовательно, прочность вала обеспечена, а жесткость - нет.
Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 поступает на вал 2 мощность N 1 = 15 кВт и к рабочим машинам - мощности N 2 = 2 кВт и N 3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N 4 = 7 кВт, N 5 = 4 кВт, N 6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d 1 и d 2 из условия прочности и жесткости, если [τ K J = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Сечения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D 1 = 200 мм, D 2 = 400 мм, D 3 = 200 мм, D 4 = 600 мм. Скольжением в ременной передаче пренебречь.
Решение
Нарис. 2.40, б изображен вал I . На него поступает мощность N и с него снимаются мощности N l , N 2 , N 3 .
Определим угловую скорость вращения вала 1 и внешние скручивающие моменты
Задание
Для стального вала круглого поперечного сечения определить значения внешних моментов, соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешенный момент (табл.7.1 и табл.7.2).
Построить эпюру крутящих моментов по длине вала.
Определить диаметры вала по сечениям из расчетов на прочность и жесткость. Полученный больший результат округлить до ближайшего четного или оканчивающегося на 5 числа.
При расчете использовать следующие данные: вал вращается с угловой скоростью 25 рад/с; материал вала - сталь, допускаемое напряжение кручения 30 МПа, модуль упругости при сдвиге 8 10 4 МПа; допускаемый угол закручивания = 0,02 рад/м.
Провести расчет для вала кольцевого сечения, приняв с = 0,9. Сделать выводы о целесообразности выполнения вала круглого или кольцевого сечения, сравнив площади поперечных сечений.
Цель работы - научиться выполнять проектировочные и проверочные расчеты круглого бруса для статически определимых систем, проводить проверку на жесткость.
Теоретическое обоснование
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две противоположно направленные пары сил.
Распределение касательных напряжений по сечению при кручении(рис. 7.1)
Касательное напряжение в точке А:
Рис.7.1
(7.1)
где - расстояние от точки А до
центра сечения.
Условие прочности при кручении
; 
(круг), (7.2)
(кольцо), (7.3)
где М к - крутящий момент в сечении, Н-м, Н-мм;
W p - момент сопротивления при кручении, м 3 , мм 3 ;
[т к ] - допускаемое напряжение при кручении, Н/м 2 , Н/мм 2 .
Проектировочный расчет, определение размеров поперечного сечения
(7.4)
где d - наружный диаметр круглого сечения;
d B n - внутренний диаметр кольцевого сечения; с = d BK /d.
Определение рационального расположения колесна валу
Рациональное расположение колес - расположение, при котором максимальное значение крутящего момента на валу - наименьшее из возможных.
Условие жесткости при кручении
; G ≈ 0,4E (7.5)
где G - модуль упругости при сдвиге, Н/м 2 , Н/мм 2 ;
Е - модуль упругости при растяжении, Н/м 2 , Н/мм 2 .
[φо ] - допускаемый угол закручивания, [φо] = 0, 54-1 град/м;
J p - полярный момент инерции в сечении, м 4 , мм 4 .
 (7.6)
|
Проектировочный расчет, определение наружное диаметра сечения
Порядок выполнения работы
1. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала для предложенной в задании схемы.
2. Выбрать рациональное расположение колес на валу и дальнейшие расчеты проводить для вала с рационально расположенными шкивами.
3. Определить потребные диаметры вала круглого сечения из расчета на прочность и жесткость и выбрать наибольшее из полученных значений, округлив величину диаметра.
4. Сравнить затраты металла для случая круглого и кольцевого сечений. Сравнение провести по площадям поперечных сечений валов.
Контрольные вопросы
1. Какие деформации возникают при кручении?
2. Какие гипотезы выполняются при деформации кручения?
3. Изменяются ли длина и диаметр вала после скручивания?
4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?
5. Что такое рациональное расположение колос на валу?
6. Что такое полярный момент инерции? Какой физический смысл имеет эта величина?
7. В каких единицах измеряется?
Пример выполнения
Для заданного бруса (рис.7.1) построить эпюры крутящих моментов, рациональным расположением шкивов на валу добиться уменьшения значения максимального крутящего момента. Построить эпюру крутящих моментов при рациональном расположении шкивов. Из условия прочности определить диаметры валов для сплошного и кольцевого сечений, приняв с = . Сравнить полученные результаты по полученным площадям поперечных сечений. [τ] = 35 МПа.
Решение
Сечение 2 (рис.7.2б):
Сечение 3 (рис.7.3в):
Рис.7.2
А б в
Рис.7.3
- Строим эпюру крутящих моментов. Значения крутящих моментов откладываем вниз от оси, т.к. моменты отрицательные. Максимальное значение крутящего момента на валу в этом случае 1000 Н·м (рис.7.1).
- Выберем рациональное расположение шкивов на валу. Наиболее целесообразно такое размещение шкивов, при котором наибольшие положительные и отрицательные значения крутящих моментов на участках будут по возможности одинаковыми. Из этих соображений ведущий шкив, передающий момент 1000 Н·м, помещают ближе к центру вала, ведомые шкивы 1 и 2 размещают слева от ведущего с моментом 1000 Н·м, шкив 3 остается на том же месте. Строим эпюру крутящих моментов при выбранном расположении шкивов (рис.7.3).
Максимальное значение крутящего момента на валу при выбранном расположении шкивов – 600 Н*м.
Рис.7.4
Момент сопротивления кручению:
Определяем диаметры вала по сечениям:
Округляем полученные значения: , ,
- Определяем диаметры вала по сечениям при условии, что сечение - кольцо
Моменты сопротивления остаются теми же. По условию
Полярный момент сопротивления кольца: 
Формула для определения наружного диаметра вала кольцевого сечения:
Расчет можно провести по формуле: 
Диаметры вала по сечениям:
Наружные диаметры вала кольцевого сечения практически не изменились.
Для кольцевого сечения: , ,
- Для выводе об экономии металла, при переходе на кольцевое сечение, сравним площади сечений (рис.7.4)
При условии что сечение – круг (рис.7.4а)
Сплошное круглое сечение:
При условии, что сечение – кольцо, (рис.7.4б)
Кольцевое сечение:
Сравнительная оценка результатов:
Следовательно, при переходе с кругового на кольцевое сечение экономия металла по весу составит 1,3 раза.
рис.7.4
Таблица 7.1
 |  |  |
 |  |  |
 |  |  |
 |
Таблица 7.2
| Вариант | Параметры | |||
| a = b = с, м | Р1,кВт | Р2,кВт | Р3,кВт | |
| 1,1 | 2,1 | 2,6 | 3,1 | |
| 1,2 | 2,2 | 2,7 | 3,2 | |
| 1,3 | 2,3 | 2,8 | 3,3 | |
| 1,4 | 2,4 | 2,9 | 3,4 | |
| 1,5 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | |
| 1,6 | 2,6 | 3,1 | 3,6 | |
| 1,7 | 2,7 | 3,2 | 3,7 | |
| 1,8 | 2,8 | 3,3 | 3,8 | |
| 1,9 | 2,9 | 3,4 | 3,9 | |
| 2,0 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | |
| 1,1 | 3,1 | 3,4 | 4,1 | |
| 1,2 | 3,2 | 3,3 | 4,2 | |
| 1,3 | 3,3 | 3,2 | 4,3 | |
| 1,4 | 3,4 | 3,1 | 4,5 | |
| 1,5 | 3,5 | 2,8 | 2,9 | |
| 1,3 | 2,1 | 2,6 | 3,1 | |
| 1,4 | 2,2 | 2,7 | 3,2 | |
| 1,5 | 2,3 | 2,8 | 3,3 | |
| 1,6 | 2,4 | 2,9 | 3,4 | |
| 1,7 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | |
| 1,8 | 2,6 | 3,1 | 3,6 | |
| 1,9 | 2,7 | 3,2 | 3,7 | |
| 2,0 | 2,8 | 3,3 | 3,8 | |
| 1,1 | 2,9 | 3,4 | 3,9 | |
| 1,2 | 3,0 | 3,5 | 4,0 | |
| 1,3 | 3,1 | 3,4 | 4,1 | |
| 1,4 | 3,2 | 3,3 | 4,2 | |
| 1,5 | 3,3 | 3,2 | 4,3 | |
| 1,4 | 3,4 | 3,1 | 4,5 | |
| 1,9 | 3,5 | 2,8 | 2,9 |
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Подобрать размеры поперечного сечения вала (рис. 1) по условию прочности . На участках от сечения 1 до сечения 3 и от сечения 5 до сечения 6 наружный диаметр вала по конструктивным соображениям должен иметь одинаковый размер.
На участке от сечения 1 до сечения 2 вал кольцевого поперечного сечения с n=d B /d=0,4. На участках от сечения 3 до сечения 5 вал подбирается только по условию прочности .
М = 1 кН∙м, [τ ] = 80 МПа.
Решение
Разбиваем вал на силовые участки , строим эпюру крутящего момента (рис. 1,б).
Определяем диаметры вала. На I, II и V участках наружный диаметр вала одинаков. Для них не возможно заранее указать сечение с наибольшим значением касательного напряжения, так как различные участки имеют различные типы поперечного сечения: I участок – кольцевое, II и V – сплошное круглое.
Приходится определять отдельно по условию прочности диаметры для каждого типа поперечного сечения по наиболее нагруженному силовому участку (то есть тому, на котором действует максимальный по абсолютной величине крутящий момент). Окончательно примем наибольший полученный диаметр.
Для участка с кольцевым сечением:
Для вала сплошного поперечного сечения
Окончательно принимаем наибольшее значение полученного диаметра, округленное до целого значения в большую сторону:
d 1 = d 2 = d 5 = 61 мм;
d B1 = n∙d 1 = 0,4∙61 = 24,4 мм.
Наибольшее действующее на этих участках напряжение:
Диаметр вала на III участке (М К3 = 5М = 5 кНм).
Определить из условий прочности необходимые размеры диаметров редукторного ступенчатого вала. Схема нагружения вала дана на рис. 1.
Исходные данные:
Мкр=0,2 кН·м.
a=30 мм.; b=60 мм.; c=100 мм.
D1=70 мм.; D2=120 мм.
[?]p=120 МПа.
Требуется:
1. Вычертить в масштабе заданную схему вала с указанием размеров и величин нагрузок.
2. Определить окружные Р и радиальные усилия Т, приняв соотношение между ними Т=0.36Р.
3. Построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
4. Построить эпюру суммарных изгибающих моментов.
5. Построить эпюру крутящих моментов.
6. Используя энергетическую теорию прочности, определить диаметры вала на отдельных участках и округлить их до стандартных размеров.
7. Вычертить эскиз.
1. Заданная схема вала представлена на рисунке 1.
2. Определим окружные Р и радиальные усилия Т.
Крутящий момент на валу вызывают силы Р1 и Р2.
Приведем силу P1 к центру тяжести сечения вала: тогда пара сил с моментом
вызывает кручение, а сила P - изгиб вала в вертикальной плоскости.
В свою очередь, пара сил с моментом М2 =Р2D2/2 вызывает кручение в противоположную сторону, а сила в центре тяжести сечения вызывает изгиб.
Найдем окружные силы Р1 и Р2:
Радиальные усилия Т определим по формуле:
3. Построим эпюры изгибающих моментов.
Эпюра от действия сил в горизонтальной плоскости.
Определим опорные реакции:
Проверка:
1-ый участок (0 при z=0,1 M=0,002 кН·м. 2-ой участок (0 M=RB·(0,1+z)+Т2·z. при z=0 M=0,002 кН·м, при z=0,06 M=0,043 кН·м. 3-ий участок (0 при z=0,03 M=0,043 кН·м. Эпюра от действия сил в вертикальной плоскости. Проверка: Строим эпюру изгибающих моментов. 1-ый участок (0 при z=0,1 M=0,25 кН·м. 2-ой участок (0 M=RB·(0,1+z)-Р2·z. при z=0 M=0,25 кН·м при z=0,06 M=0,2 кН·м. 3-ий участок (0 при z=0,03 M=0,2 кН·м. Построим эпюру суммарных изгибающих моментов. Для этого нужно рассмотреть несколько сечений вала и определить в них суммарный изгибающий момент по формуле: Отсюда получаем: Моменты внутренних сил или крутящих моментов находят методом сечений. Сначала разбивают вал на участки (между соседними шкивами) затем на каждом участке выбирают произвольное сечение. Крутящий момент в этом сечении равен алгебраической сумме моментов внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. В пределах каждого участка крутящий момент постоянен. Знак крутящего момента определяют по знаку внешних моментов: положительным считается направление против движения часовой стрелки при взгляде на сечение вала вдоль его оси. При этом можно рассматривать любую часть вала по одну сторону от сечения. 1) Для вала на рис.2 крутящие моменты по участкам: 1-ый участок: 2-ой участок: М=0,2 кН·м. 3-ий участок: Полученные эпюры изображены на рисунке 2. Рисунок 2 - Эпюры изгибающих и крутящих моментов.
Для подбора сечения применяем энергетическую гипотезу прочности: Принимаем d1=70 мм., d2=120 мм.
